Converta da base decimal para as bases 2 e 3 .
a. 8

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal 8 para as bases 2 e 3.
Informações fornecidas:
  • Número dado: 8.
  • Conversões pedidas: para base 2 e para base 3.

Passo 2

Entendendo o que significa escrever um número em outra base (breve aula).
  • Em uma base b (inteira, b\ge2), um número inteiro não negativo N é escrito como uma sequência de dígitos d_m d_{m-1}\dots d_1 d_0 onde cada dígito satisfaz 0 \le d_k \le b-1.
  • O valor dessa escrita é dado por
N = \sum_{k=0}^{m} d_k\, b^k.
Aqui:
  • b é a base;
  • d_k é o dígito na posição k (posição 0 é a menos significativa);
  • b^k é a potência de b que indica o peso daquela posição.
Exemplo simples (ilustrativo): em base 10 o número 237 significa
237 = 2\cdot10^2 + 3\cdot10^1 + 7\cdot10^0.

Passo 3

Método prático para converter um inteiro N para uma base b (algoritmo das divisões sucessivas):
  1. Dividir N por b, anotar o quociente inteiro e o resto (resto será um dígito entre 0 e b-1).
  2. Substituir N pelo quociente e repetir: dividir o novo N por b, anotar novo resto.
  3. Continuar até o quociente ser 0.
  4. A representação em base b é a sequência de restos lida de baixo para cima (último resto obtido é o dígito mais significativo).
Por que funciona (intuição): cada divisão extrai o dígito menos significativo porque
N = b\cdot q + r \quad\text{com}\quad 0\le r\le b-1,
logo r é o dígito d_0. Repetindo para q obtemos os dígitos seguintes, que correspondem aos coeficientes das potências de b.

Passo 4

Conversão de 8 para base 2 (aplicando o algoritmo passo a passo).
Fazer divisões por 2, anotando quociente e resto:
  • 8 \div 2 = 4 com resto 0. (escreve-se: quociente 4, resto 0)
  • 4 \div 2 = 2 com resto 0.
  • 2 \div 2 = 1 com resto 0.
  • 1 \div 2 = 0 com resto 1.
Agora lemos os restos de baixo para cima (do último obtido para o primeiro): 1,0,0,0. Portanto a representação em base 2 é
1000_2.
Verificação rápida usando a fórmula posicional:
1000_2 = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = 1\cdot 8 = 8,
logo está correto.

Passo 5

Conversão de 8 para base 3 (mesmo algoritmo, divisões por 3).
Fazer divisões por 3:
  • 8 \div 3 = 2 com resto 2. (porque 2\cdot3=6 e 8-6=2)
  • 2 \div 3 = 0 com resto 2.
Lendo os restos de baixo para cima: 2,2. Portanto a representação em base 3 é
22_3.
Verificação com a fórmula posicional:
22_3 = 2\cdot 3^1 + 2\cdot 3^0 = 2\cdot 3 + 2\cdot 1 = 6 + 2 = 8,
confirmação OK.

Passo 6

Resumo final e dica para a prova: sempre que for converter um inteiro positivo, use o algoritmo das divisões sucessivas. Para bases que são potências pequenas (como 2), às vezes vale reconhecer potências (aqui 8=2^3), o que permite obter o resultado de cabeça; para outras bases faça as divisões e verifique expandindo pela fórmula posicional.

Resposta

Base 2: 1000_2
Base 3: 22_3

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