Converta para a base decimal.
e. 12,021_{3}

Passo 1

O enunciado pede: converter para a base decimal o número 12,021_{3}.
Informações dadas:
  • O número em base 3 é 12,021_{3}.
  • Os dígitos presentes são 1,2,0,2,1 e todos são válidos na base 3 (os dígitos permitidos são 0,1,2).
  • A vírgula separa a parte inteira da parte fracionária: parte inteira 12_{3} e parte fracionária 021_{3}.

Passo 2

Explicação do sistema posicional (passo didático rápido): em uma base b, cada dígito multiplica uma potência de b. Dígitos à esquerda da vírgula multiplicam potências não-negativas b^{0},b^{1},b^{2},\dots. Dígitos à direita da vírgula multiplicam potências negativas b^{-1},b^{-2},\dots. Assim o valor real é a soma desses produtos:
\text{valor}=\sum_{k=-m}^{n} d_k b^{k},
onde d_k são os dígitos e b é a base.

Passo 3

Aplicando ao número dado: identificar cada dígito com sua potência de 3. Escrevendo a expansão:
12,021_{3}=1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+2\cdot 3^{-2}+1\cdot 3^{-3}.

Passo 4

Calcular a parte inteira (explicando cada operação):
1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}=1\cdot 3+2\cdot 1=3+2=5.

Passo 5

Calcular a parte fracionária passo a passo (lembrando que 3^{-2}=1/9 e 3^{-3}=1/27):
0\cdot 3^{-1}+2\cdot 3^{-2}+1\cdot 3^{-3}=0+2\cdot \frac{1}{9}+1\cdot \frac{1}{27}=\frac{2}{9}+\frac{1}{27}.
Colocando em denominador comum 27:
\frac{2}{9}=\frac{6}{27},\qquad \frac{6}{27}+\frac{1}{27}=\frac{7}{27}.
Como número decimal periódico, \dfrac{1}{27}=0{,}037037\ldots, logo \dfrac{7}{27}=0{,}259259\ldots (repetição do bloco 259).

Passo 6

Somar parte inteira e parte fracionária:
5+\frac{7}{27}=\frac{5\cdot 27+7}{27}=\frac{135+7}{27}=\frac{142}{27}.
Em forma decimal isso é 5{,}259259\ldots, que também pode ser escrito 5,\overline{259}.

Resposta

\dfrac{142}{27}
5{,}259259\ldots

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