Converta para a base decimal.
f. 1002,22_{3}

Passo 1

O enunciado dá o número em base 3 e pede para convertê‑lo para a base decimal. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número é 1002,22_{3}.
  • Parte inteira: 1002_{3}.
  • Parte fracionária: ,22_{3}.
  • A base é 3 (ou seja, cada posição vale uma potência de 3).
    O que se pede: encontrar o valor desse número escrito na base decimal (forma fracionária exata e/ou forma decimal).

Passo 2

Como funciona a conversão — ideia geral para a parte inteira.
  • Regra: um número com dígitos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 em base b vale
\sum_{k=0}^{n} a_k b^{k},
onde a_0 é o dígito das unidades, a_1 é o dígito das unidades de b, etc. Aqui b=3.
  • Aplicando à parte inteira 1002_{3}. Identificando os dígitos da direita para a esquerda:
    • dígito em 3^{0}: 2 contribui com 2\cdot 3^{0},
    • dígito em 3^{1}: 0 contribui com 0\cdot 3^{1},
    • dígito em 3^{2}: 0 contribui com 0\cdot 3^{2},
    • dígito em 3^{3}: 1 contribui com 1\cdot 3^{3}.
  • Calculemos cada termo:
1\cdot 3^{3}=1\cdot 27=27, \qquad 0\cdot 3^{2}=0, \qquad 0\cdot 3^{1}=0, \qquad 2\cdot 3^{0}=2.
  • Somando, a parte inteira vale
27+0+0+2=29.

Passo 3

Como funciona a conversão — ideia geral para a parte fracionária.
  • Regra: uma parte fracionária com dígitos b_1 b_2 b_3\dots em base b vale
\sum_{j=1}^{\infty} b_j b^{-j},
onde b_1 é o dígito de b^{-1}, b_2 é o dígito de b^{-2}, etc.
  • Aqui a parte fracionária é ,22_{3}, ou seja b_1=2 e b_2=2 com b=3.
  • Calculemos os termos:
2\cdot 3^{-1}=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}, \qquad 2\cdot 3^{-2}=2\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{9}.
  • Somando essas frações: colocar no mesmo denominador 9,
\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}+\frac{2}{9}=\frac{8}{9}.
Portanto a parte fracionária vale \dfrac{8}{9}.

Passo 4

Somando parte inteira e fracionária para obter o número decimal.
  • Temos parte inteira 29 e parte fracionária \dfrac{8}{9}. Então
29+\frac{8}{9}=\frac{29\cdot 9 + 8}{9}=\frac{261+8}{9}=\frac{269}{9}.
  • Para ver a forma decimal: dividir 269 por 9. Como 9\cdot 29=261 sobra resto 8, então
\frac{269}{9}=29+\frac{8}{9}=29,\,\overline{8},
ou seja 29,888\ldots com 8 repetindo eternamente.

Passo 5

Resumo prático (dica para a prova): para converter números em base b,
  • some cada dígito multiplicado por b^{\text{posição}}çã para a parte inteira (posição 0 = unidades),
  • some cada dígito multiplicado por b^{-\text{posição}}çã para a parte fracionária (posição 1 = b^{-1}),
  • simplifique frações se possível; para checar a forma decimal, divida o numerador pelo denominador.
    No caso 1002,22_{3} esses passos dão rapidamente o resultado exato e a forma decimal repetida.

Resposta

\dfrac{269}{9}
29,\overline{8}

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