Converta os números binários abaixo para base 10 .
(10,0001)_{2}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número binário (10,0001)_2 para a base 10.
Informações dadas:
  • Parte inteira do número binário: 10 (dois dígitos: de ordem 2^1 e 2^0).
  • Parte fracionária do número binário: 00001 (cinco dígitos: posições 2^{-1},2^{-2},2^{-3},2^{-4},2^{-5}, sendo que somente o último dígito vale 1).

Passo 2

Explicação do método (valor posicional): cada dígito binário é multiplicado por uma potência de 2.
  • Para a parte inteira, posições vão de 2^0,2^1,\dots da direita para a esquerda.
  • Para a parte fracionária, posições vão de 2^{-1},2^{-2},\dots da esquerda para a direita.
    Então basta somar todos esses produtos para obter o valor na base 10.

Passo 3

Escrevendo a expansão posicional do número:
(10,0001)_2 = 1\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0} + 0\cdot 2^{-1} + 0\cdot 2^{-2} + 0\cdot 2^{-3} + 0\cdot 2^{-4} + 1\cdot 2^{-5}
Agora simplifico os termos com zero:
(10,0001)_2 = 2 + 2^{-5}

Passo 4

Calculo de 2^{-5}. Pelo significado de expoente negativo:
2^{-5}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}.
Somando:
(10,0001)_2 = 2 + \frac{1}{32} = \frac{64}{32} + \frac{1}{32} = \frac{65}{32}.
Observação: \tfrac{65}{32} é a forma fracionária exata do número em base 10.

Passo 5

Converter \tfrac{65}{32} para decimal (método da divisão longa):
  • 32 cabe 2 vezes em 65; resto 1. Logo parte inteira é 2 e sobra 1 (que gera a parte decimal).
    Agora convertemos 1/32 em decimal multiplicando o resto por 10 sucessivas vezes:
\begin{aligned} 10 \div 32 &= 0\\ \text{(resto }10)\quad\Rightarrow\\ \text{primeiro dígito decimal }0,\\\\ 100 \div 32 &= 3\\ \text{(resto }4)\quad\Rightarrow\\ \text{segundo dígito }3,\\\\ 40 \div 32 &= 1\\ \text{(resto }8)\quad\Rightarrow\\ \text{terceiro dígito }1,\\\\ 80 \div 32 &= 2\\ \text{(resto }16)\quad\Rightarrow\\ \text{quarto dígito }2,\\\\ 160 \div 32 &= 5\\ \text{(resto }0)\quad\Rightarrow\\ \text{quinto dígito }5. \end{aligned}ííííí
Portanto \dfrac{1}{32} = 0,03125. Somando à parte inteira 2 obtém-se o valor em decimal.

Resposta

2,03125

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