Questão 8. Determine o valor de \operatorname{tg} x em função de a, b, c e d, dada a equação trigonométrica:
a \operatorname{sen}^{2} x+b \operatorname{sen} x \cos x+c \cos ^{2} x=d
Considere x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, com k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a equação trigonométrica
a \operatorname{sen}^{2} x+b \operatorname{sen} x \cos x+c \cos ^{2} x=d
e pede determinar \operatorname{tg} x em função de a,b,c,d. Foi dado também que x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • A incógnita final é \operatorname{tg} x (ou seja, \tan x).
  • A restrição x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi garante que \cos x \neq 0, então podemos dividir por \cos^2 x sem problemas.
  • Os parâmetros a,b,c,d são dados e podem assumir valores que exigirão casos separados (por exemplo, a-d=0 pode ocorrer).

Passo 2

Primeira transformação: dividir ambos os lados da equação por \cos^{2}x. Isso é permitido porque a hipótese x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi assegura \cos x\neq0.
Ao dividir, lembramos que \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x} e que \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\operatorname{tg}^{2}x (essa última é a identidade pitagórica para tangente e secante). Usando isso:
\frac{a \operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}+\frac{b \operatorname{sen}x\cos x}{\cos^{2}x}+\frac{c \cos^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{d}{\cos^{2}x}.
Agora expressamos tudo em \operatorname{tg} x. Chamando t=\operatorname{tg} x para simplificar a escrita, temos \dfrac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos^{2}x}=t^{2}, \dfrac{\operatorname{sen}x\cos x}{\cos^{2}x}=t e \dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+t^{2}. Substituindo na expressão acima obtemos:
a t^{2}+b t+c=d(1+t^{2}).

Passo 3

Agrupando termos semelhantes na equação obtida, trazemos tudo para o lado esquerdo:
a t^{2}+b t+c-d-d t^{2}=0.
Ordenando por potências de t fica
(a-d)t^{2}+b t+(c-d)=0.
Portanto \operatorname{tg} x=t deve satisfazer a equação quadrática acima. Agora vamos resolver essa quadrática em t.

Passo 4

Caso geral: suponha que a-d\neq 0. Então temos uma equação quadrática padrão A t^{2}+B t+C=0 com
A=a-d,\qquad B=b,\qquad C=c-d.
A solução de uma quadrática A t^{2}+B t+C=0 é dada pela fórmula quadrática
t=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A},
onde \Delta=B^{2}-4AC é o discriminante. Aplicando aqui temos o discriminante
\Delta=b^{2}-4(a-d)(c-d).
Logo, quando a-d\neq 0 as soluções para \operatorname{tg} x são
\operatorname{tg} x=\frac{-b\pm\sqrt{\,b^{2}-4(a-d)(c-d)\,}}{2(a-d)}.
Explanação didática rápida: o discriminante \Delta indica se há duas soluções reais distintas ( \Delta>0), uma solução real dupla ( \Delta=0) ou nenhuma solução real ( \Delta<0) para t. Como \operatorname{tg} x é uma função real que pode assumir qualquer valor real, as soluções reais de t são válidas; se \Delta<0 não haverá solução real para t nessa fórmula.

Passo 5

Caso degenerado 1: a-d=0 (ou seja A=0 na quadrática). Então a equação quadrática degenera para uma equação linear:
b t+(c-d)=0.
Se b\neq 0 então a solução é imediata:
\operatorname{tg} x=t=\frac{d-c}{b}.
Explicação: isolamos t movendo c-d para o outro lado e dividindo por b.

Passo 6

Caso degenerado 2: a-d=0 e b=0. Então a equação reduz-se a
c-d=0.
Subcasos:
  • Se c-d\neq 0 então obtemos uma contradição (número não nulo igual a zero), logo não há valor de t que satisfaça a equação — isto é, não há solução para \operatorname{tg} x.
  • Se c-d=0 (portanto a=d, b=0 e c=d), a equação original fica
a\operatorname{sen}^{2}x+0\cdot\operatorname{sen}x\cos x+a\cos^{2}x=a(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)=a=d,
que é uma identidade verdadeira para todo x. Nesse caso qualquer t=\operatorname{tg} x (qualquer número real) é solução — ou seja, infinitas soluções para \operatorname{tg} x.

Passo 7

Resumo das possibilidades e interpretação final (forma pronta para usar na prova):
  • Se a-d\neq 0 então
\operatorname{tg} x=\frac{-b\pm\sqrt{\,b^{2}-4(a-d)(c-d)\,}}{2(a-d)}.
  • Se a-d=0 e b\neq 0 então
\operatorname{tg} x=\frac{d-c}{b}.
  • Se a-d=0, b=0 e c-d\neq 0 então não existe \operatorname{tg} x real que satisfaça a equação.
  • Se a-d=0, b=0 e c-d=0 então a equação é verdadeira para todo x e \operatorname{tg} x pode ser qualquer número real.
Força aí — com esses passos você resolve a equação em qualquer caso que seu professor colocar na prova. Lembre-se de verificar primeiro se \cos x\neq0 (já garantido no enunciado) e, ao aplicar a fórmula quadrática, checar o discriminante para saber quantas soluções reais existem.

Resposta

\displaystyle \text{Se }a-d\neq 0:\quad \operatorname{tg}x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\,b^{2}-4(a-d)(c-d)\,}}{2(a-d)}
\displaystyle \text{Se }a-d=0\text{ e }b\neq0:\quad \operatorname{tg}x=\dfrac{d-c}{b}
\displaystyle \text{Se }a-d=0,\\ b=0,\\ c-d\neq0:\quad \text{nenhuma solução}çã
\displaystyle \text{Se }a-d=0,\\ b=0,\\ c-d=0:\quad \operatorname{tg}x\text{ pode ser qualquer número real}ú

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