Questão 8. Determine o valor de
em função de
e
, dada a equação trigonométrica:
Considere
, com
.
Passo 1
O enunciado dá a equação trigonométrica
e pede determinar
em função de
. Foi dado também que
para
.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
- A incógnita final é
(ou seja, ). - A restrição
garante que , então podemos dividir por sem problemas. - Os parâmetros
são dados e podem assumir valores que exigirão casos separados (por exemplo, pode ocorrer).
Passo 2
Primeira transformação: dividir ambos os lados da equação por
. Isso é permitido porque a hipótese
assegura
.
Ao dividir, lembramos que
e que
(essa última é a identidade pitagórica para tangente e secante). Usando isso:
Agora expressamos tudo em
. Chamando
para simplificar a escrita, temos
,
e
. Substituindo na expressão acima obtemos:
Passo 3
Agrupando termos semelhantes na equação obtida, trazemos tudo para o lado esquerdo:
Ordenando por potências de
fica
Portanto
deve satisfazer a equação quadrática acima. Agora vamos resolver essa quadrática em
.
Passo 4
Caso geral: suponha que
. Então temos uma equação quadrática padrão
com
A solução de uma quadrática
é dada pela fórmula quadrática
onde
é o discriminante. Aplicando aqui temos o discriminante
Logo, quando
as soluções para
são
Explanação didática rápida: o discriminante
indica se há duas soluções reais distintas (
), uma solução real dupla (
) ou nenhuma solução real (
) para
. Como
é uma função real que pode assumir qualquer valor real, as soluções reais de
são válidas; se
não haverá solução real para
nessa fórmula.
Passo 5
Caso degenerado 1:
(ou seja
na quadrática). Então a equação quadrática degenera para uma equação linear:
Se
então a solução é imediata:
Explicação: isolamos
movendo
para o outro lado e dividindo por
.
Passo 6
Caso degenerado 2:
e
. Então a equação reduz-se a
Subcasos:
- Se
então obtemos uma contradição (número não nulo igual a zero), logo não há valor de que satisfaça a equação — isto é, não há solução para . - Se
(portanto , e ), a equação original fica
que é uma identidade verdadeira para todo
. Nesse caso qualquer
(qualquer número real) é solução — ou seja, infinitas soluções para
.
Passo 7
Resumo das possibilidades e interpretação final (forma pronta para usar na prova):
- Se
então
- Se
e então
- Se
, e então não existe real que satisfaça a equação. - Se
, e então a equação é verdadeira para todo e pode ser qualquer número real.
Força aí — com esses passos você resolve a equação em qualquer caso que seu professor colocar na prova. Lembre-se de verificar primeiro se
(já garantido no enunciado) e, ao aplicar a fórmula quadrática, checar o discriminante para saber quantas soluções reais existem.