Resolva o sistema usando o método da Pivotação Completa.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=14 \\\\ 2 x+5 y+2 z=18 \\\\ 3 x+y+4 z=20 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear usando o método da pivotação completa. O sistema dado é:
\left\{\begin{array}{l} x+2y+3z=14,\\[4pt] 2x+5y+2z=18,\\[4pt] 3x+y+4z=20. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • São três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
  • A instrução explícita é usar o método da pivotação completa (em cada passo escolher o maior pivô em módulo na submatriz restante e, se necessário, trocar linhas e colunas).
  • Preciso manter o rastreamento das trocas de colunas (isto é, das permutações das variáveis), porque trocar colunas equivale a reordenar as incógnitas.]

Passo 2

Breve explicação do método (para entender o que vou fazer).
  • Pivotação completa: em cada etapa de eliminação, entre as entradas ainda não eliminadas (submatriz A_{k:k,\,k:n}) escolhe-se o elemento de maior valor absoluto como pivô. Se esse pivô não estiver na posição diagonal (k,k), troca-se a linha que o contém com a linha k e a coluna que o contém com a coluna k. As trocas de colunas implicam trocar a ordem das incógnitas; por isso é fundamental registrar a permutação das variáveis.
  • Depois de trazer o pivô para a posição (k,k), faz-se eliminação gaussiana nas linhas abaixo para zerar a coluna k e prossegue-se para k+1.
  • No final, resolve-se o sistema triangular superior por substituição regressiva e, por fim, reordena-se a solução de acordo com a permutação das variáveis.
Agora monto a matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 14\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 18\\[4pt] 3 & 1 & 4 & 20 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira etapa de pivotação completa (colocar o maior elemento em módulo de toda a matriz de coeficientes na posição (1,1)).
  • Os coeficientes são \{1,2,3,2,5,2,3,1,4\}. O maior em módulo é 5, que está na posição (2,2) (segunda linha, segunda coluna).
  • Para trazê-lo a (1,1) fazemos duas trocas: trocar a linha 1 com a linha 2 e trocar a coluna 1 com a coluna 2. Trocar colunas significa trocar as incógnitas x e y: a nova ordem de incógnitas passa a ser (y,\,x,\,z).
    Depois das trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 18\\[4pt] 2 & 1 & 3 & 14\\[4pt] 1 & 3 & 4 & 20 \end{array}\right].
Agora o pivô de primeira etapa é 5 na posição (1,1).]

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô 5 (fazendo operações do tipo \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{i1}\,\text{linha}_1).
  • Calculam-se os multiplicadores:
m_{21}=\frac{2}{5},\qquad m_{31}=\frac{1}{5}.
  • Atualizo a linha 2:
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - \frac{2}{5}\,\text{linha}_1.
Fazendo componente a componente (uso frações para exatidão):
\begin{array}{l} 0\quad(\text{coluna }1),\\[2pt] 1 - \dfrac{2}{5}\cdot 2 = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5},\\[6pt] 3 - \dfrac{2}{5}\cdot 2 = 3 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{11}{5},\\[6pt] 14 - \dfrac{2}{5}\cdot 18 = 14 - \dfrac{36}{5} = \dfrac{34}{5}. \end{array}
Logo a nova linha 2 é \left[0,\\ \dfrac{1}{5},\\ \dfrac{11}{5}\\ \big|\\ \dfrac{34}{5}\right].
  • Atualizo a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \frac{1}{5}\,\text{linha}_1.
Componentes:
\begin{array}{l} 0\quad(\text{coluna }1),\\[2pt] 3 - \dfrac{1}{5}\cdot 2 = 3 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{13}{5},\\[6pt] 4 - \dfrac{1}{5}\cdot 2 = 4 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{18}{5},\\[6pt] 20 - \dfrac{1}{5}\cdot 18 = 20 - \dfrac{18}{5} = \dfrac{82}{5}. \end{array}
Nova linha 3: \left[0,\\ \dfrac{13}{5},\\ \dfrac{18}{5}\\ \big|\\ \dfrac{82}{5}\right].
A matriz aumentada após eliminação é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 18\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{11}{5} & \dfrac{34}{5}\\[6pt] 0 & \dfrac{13}{5} & \dfrac{18}{5} & \dfrac{82}{5} \end{array}\right].]

Passo 5

Segunda etapa de pivotação completa (na submatriz das linhas/colunas 2 e 3, escolher o maior elemento em módulo e trazê-lo para a posição (2,2)).
  • A submatriz de coeficientes remanescente é
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{11}{5}\\[6pt] \dfrac{13}{5} & \dfrac{18}{5} \end{pmatrix}.
Os valores em módulo são \dfrac{1}{5},\\ \dfrac{11}{5},\\ \dfrac{13}{5},\\ \dfrac{18}{5}. O maior é \dfrac{18}{5}, que está na posição (3,3) da matriz total (ou seja, linha 3, coluna 3).
  • Para trazê-lo a (2,2) troco a linha 2 com a linha 3 e a coluna 2 com a coluna 3. Trocar coluna 2 com coluna 3 significa trocar as incógnitas correspondentes na ordem atual (y,\,x,\,z): col2 é x e col3 é z, então a nova ordem de incógnitas passa a ser (y,\,z,\,x).
    Após as trocas (linhas 2↔3 e colunas 2↔3) a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 18\\[6pt] 0 & \dfrac{18}{5} & \dfrac{13}{5} & \dfrac{82}{5}\\[6pt] 0 & \dfrac{11}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{34}{5} \end{array}\right],
onde o pivô de segunda etapa é \dfrac{18}{5} na posição (2,2).]

Passo 6

Eliminar o elemento abaixo do pivô \dfrac{18}{5} na coluna 2 (linha 3).
  • Multiplicador:
m_{32}=\frac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{18}{5}}=\frac{11}{18}.
  • Atualizo a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \frac{11}{18}\,\text{linha}_2.
Calculando a coluna 3:
\dfrac{1}{5} - \frac{11}{18}\cdot \dfrac{13}{5} = \frac{1}{5}\Bigl(1 - \frac{11\cdot 13}{18}\Bigr) = \frac{1}{5}\Bigl(1 - \frac{143}{18}\Bigr) = \frac{1}{5}\cdot\frac{18-143}{18} = \frac{1}{5}\cdot\frac{-125}{18} = -\frac{125}{90} = -\frac{25}{18}.
Calculando o termo independente:
\dfrac{34}{5} - \frac{11}{18}\cdot \dfrac{82}{5} = \frac{1}{5}\Bigl(34 - \frac{11\cdot 82}{18}\Bigr) = \frac{1}{5}\Bigl(\frac{34\cdot 18 - 902}{18}\Bigr) = \frac{1}{5}\cdot\frac{612 - 902}{18} = \frac{1}{5}\cdot\frac{-290}{18} = -\frac{290}{90} = -\frac{29}{9}.
Portanto a linha 3 nova é \left[0,\\\ 0,\\\ -\dfrac{25}{18}\\ \big|\\\ -\dfrac{29}{9}\right].
A matriz aumentada triangular superior final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 18\\[6pt] 0 & \dfrac{18}{5} & \dfrac{13}{5} & \dfrac{82}{5}\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{25}{18} & -\dfrac{29}{9} \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição regressiva para obter as incógnitas na ordem atual das colunas. Lembrando: após as trocas de colunas feitas, a ordem das incógnitas é agora
(\,\text{coluna }1,\\ \text{coluna }2,\\ \text{coluna }3\,) = (y,\\ z,\\ x).
Vou achar primeiro a variável correspondente à coluna 3 (que é x na ordem original).
Equação da linha 3:
-\dfrac{25}{18}\,(\text{coluna }3) = -\dfrac{29}{9}.
Logo
\text{coluna }3 = \frac{-\dfrac{29}{9}}{-\dfrac{25}{18}} = \left(\!-\frac{29}{9}\!\right)\left(\!-\frac{18}{25}\!\right) = \frac{29\cdot 18}{9\cdot 25} = \frac{29\cdot 2}{25} = \frac{58}{25}.
Portanto, \;x = \dfrac{58}{25}.

Passo 8

Continuo a regressiva para a coluna 2 (que é z na ordem original). Equação da linha 2:
\dfrac{18}{5}\,(\text{coluna }2)+\dfrac{13}{5}\,(\text{coluna }3)=\dfrac{82}{5}.
Multiplico por 5 para simplificar:
18\,(\text{coluna }2) + 13\,(\text{coluna }3) = 82.
Substituo \text{coluna }3 = \dfrac{58}{25}:
18\,(\text{coluna }2) = 82 - 13\cdot \frac{58}{25} = \frac{2050}{25} - \frac{754}{25} = \frac{1296}{25}.
Portanto
\text{coluna }2 = \frac{1296}{25\cdot 18} = \frac{1296}{450} = \frac{72}{25}.
Logo \;z = \dfrac{72}{25}.

Passo 9

Finalmente, obtenho a coluna 1 (que é y na ordem original) pela linha 1:
5\,(\text{coluna }1) + 2\,(\text{coluna }2) + 2\,(\text{coluna }3) = 18.
Substituo \text{coluna }2=\dfrac{72}{25} e \text{coluna }3=\dfrac{58}{25}:
2\cdot\frac{72}{25} + 2\cdot\frac{58}{25} = \frac{144+116}{25} = \frac{260}{25} = \frac{52}{5}.
Então
5\,(\text{coluna }1) = 18 - \frac{52}{5} = \frac{90-52}{5} = \frac{38}{5},
portanto
\text{coluna }1 = \frac{38}{25}.
Logo \;y = \dfrac{38}{25}.

Passo 10

Reorganizando as respostas para a ordem original das incógnitas (x,y,z):
  • Encontramos x=\dfrac{58}{25}, y=\dfrac{38}{25}, z=\dfrac{72}{25}.
  • Conferência rápida (substituindo na primeira equação):
\dfrac{58}{25} + 2\cdot\dfrac{38}{25} + 3\cdot\dfrac{72}{25} = \frac{58+76+216}{25} = \frac{350}{25} = 14,
confere. As demais equações também conferem (pode checar se quiser). Bom trabalho — você conseguiu acompanhar a pivotação completa e o rastreamento das trocas de colunas!

Resposta

x=\dfrac{58}{25}\
y=\dfrac{38}{25}\
z=\dfrac{72}{25}

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