São três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
A instrução explícita é usar o método da pivotação completa (em cada passo escolher o maior pivô em módulo na submatriz restante e, se necessário, trocar linhas e colunas).
Preciso manter o rastreamento das trocas de colunas (isto é, das permutações das variáveis), porque trocar colunas equivale a reordenar as incógnitas.]
Passo 2
Breve explicação do método (para entender o que vou fazer).
Pivotação completa: em cada etapa de eliminação, entre as entradas ainda não eliminadas (submatriz A_{k:k,\,k:n}) escolhe-se o elemento de maior valor absoluto como pivô. Se esse pivô não estiver na posição diagonal (k,k), troca-se a linha que o contém com a linha k e a coluna que o contém com a coluna k. As trocas de colunas implicam trocar a ordem das incógnitas; por isso é fundamental registrar a permutação das variáveis.
Depois de trazer o pivô para a posição (k,k), faz-se eliminação gaussiana nas linhas abaixo para zerar a coluna k e prossegue-se para k+1.
No final, resolve-se o sistema triangular superior por substituição regressiva e, por fim, reordena-se a solução de acordo com a permutação das variáveis.
Agora monto a matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
Primeira etapa de pivotação completa (colocar o maior elemento em módulo de toda a matriz de coeficientes na posição (1,1)).
Os coeficientes são \{1,2,3,2,5,2,3,1,4\}. O maior em módulo é 5, que está na posição (2,2) (segunda linha, segunda coluna).
Para trazê-lo a (1,1) fazemos duas trocas: trocar a linha 1 com a linha 2 e trocar a coluna 1 com a coluna 2. Trocar colunas significa trocar as incógnitas x e y: a nova ordem de incógnitas passa a ser (y,\,x,\,z).
Depois das trocas (linhas e colunas), a matriz aumentada fica
Os valores em módulo são \dfrac{1}{5},\\ \dfrac{11}{5},\\ \dfrac{13}{5},\\ \dfrac{18}{5}. O maior é \dfrac{18}{5}, que está na posição (3,3) da matriz total (ou seja, linha 3, coluna 3).
Para trazê-lo a (2,2) troco a linha 2 com a linha 3 e a coluna 2 com a coluna 3. Trocar coluna 2 com coluna 3 significa trocar as incógnitas correspondentes na ordem atual (y,\,x,\,z): col2 é x e col3 é z, então a nova ordem de incógnitas passa a ser (y,\,z,\,x).
Após as trocas (linhas 2↔3 e colunas 2↔3) a matriz fica
Substituição regressiva para obter as incógnitas na ordem atual das colunas. Lembrando: após as trocas de colunas feitas, a ordem das incógnitas é agora
confere. As demais equações também conferem (pode checar se quiser). Bom trabalho — você conseguiu acompanhar a pivotação completa e o rastreamento das trocas de colunas!