Converta os números binários abaixo para base 10 .
(e) (10000000)_{2}

Passo 1

O enunciado dá o número binário (10000000)_2 e pede para convertê‑lo para a base 10.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • O número tem 8 dígitos binários (bits), do mais significativo à esquerda ao menos significativo à direita.
  • Cada dígito binário vale 0 ou 1.
  • A pergunta é: qual é o valor desse número escrito em base decimal (base 10)?

Passo 2

Explicação do princípio que vamos usar (posicional): em qualquer base, cada dígito representa o dígito vezes a base elevada a uma potência que depende da posição. Para base 2 (binário) a fórmula geral é
N=\sum_{k=0}^{n-1} b_k\,2^{k},
onde:
  • N é o valor decimal do número binário;
  • n é o número total de dígitos (aqui n=8);
  • b_k é o dígito (0 ou 1) na posição k, contado a partir da direita começando em k=0 para o bit menos significativo;
  • 2^{k} é a potência de 2 correspondente à posição k.
Em palavras: cada dígito binário vale b_k vezes 2^{k}; somando todas essas contribuições obtemos o número em decimal.

Passo 3

Identificação dos dígitos e suas posições para (10000000)_2. Escrevendo os bits com o índice da posição (da direita para a esquerda):
\begin{array}{c c c c c c c c} b_7 & b_6 & b_5 & b_4 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}
Ou seja, b_7=1 e b_6=b_5=\dots=b_0=0.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma das posições ao número dado:
N = b_7 2^{7} + b_6 2^{6} + b_5 2^{5} + b_4 2^{4} + b_3 2^{3} + b_2 2^{2} + b_1 2^{1} + b_0 2^{0}.
Substituindo os b_k identificados:
N = 1\cdot 2^{7} + 0\cdot 2^{6} + 0\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 0\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0}.
Portanto só sobra o termo com 2^{7}:
N = 2^{7}.

Passo 5

Cálculo de 2^{7} por duplicações (método simples sem calculadora):
Começando de 2^{0}=1 e dobrando:
2^{1}=2,
2^{2}=4,
2^{3}=8,
2^{4}=16,
2^{5}=32,
2^{6}=64,
2^{7}=128.
Cada passo é só multiplicar por 2; ao chegar em 2^{7} temos 128.

Passo 6

Conclusão da conversão: como N=2^{7} e 2^{7}=128, o valor decimal do binário dado é 128. Se quiser verificar mentalmente, observe que em binário 10000000 significa “um” seguido de sete zeros, ou seja a unidade na posição 2^{7}.

Passo 7

Verificação alternativa (método acumulativo, útil em prova): ler da esquerda para a direita fazendo assim: comece em 0; para cada bit, dobre o acumulado e some o bit atual. Aplicando em 1\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0:
  • começa em 0;
  • ler 1: acum = 0\cdot 2 + 1 = 1;
  • ler 0: acum = 1\cdot 2 + 0 = 2;
  • ler 0: acum = 2\cdot 2 + 0 = 4;
  • ler 0: acum = 4\cdot 2 + 0 = 8;
  • ler 0: acum = 8\cdot 2 + 0 = 16;
  • ler 0: acum = 16\cdot 2 + 0 = 32;
  • ler 0: acum = 32\cdot 2 + 0 = 64;
  • ler último 0: acum = 64\cdot 2 + 0 = 128.
    Chega ao mesmo resultado 128, boa forma de checar rapidamente.

Resposta

128

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