Converta os números binários abaixo para base 10 .
(111111)_{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Pede: converter o número (111111)_2 (base 2) para a base 10.\n
  • Informação dada: o número em base 2 é (111111)_2, ou seja seis dígitos todos iguais a 1.

Passo 2

Entendendo como funcionam os números em base 2 (posição e peso)\n
  • Em qualquer sistema posicional, cada dígito tem um peso que depende da posição. No sistema binário (base 2), os pesos são potências de 2.\n
  • O dígito mais à direita tem peso 2^{0}, o próximo à esquerda tem peso 2^{1}, depois 2^{2}, e assim por diante.

Passo 3

Anotar as posições dos dígitos de (111111)_2\n
  • Escrevendo os dígitos com seus expoentes (da direita para a esquerda): o primeiro 1 tem expoente 0, o seguinte 1, até o mais à esquerda com expoente 5.\n
  • Logo, os dígitos correspondem aos coeficientes diante de 2^{5},2^{4},2^{3},2^{2},2^{1},2^{0}.

Passo 4

Fazer a expansão posicional em soma de potências de 2\n
  • Aplicando a regra, (111111)_2 corresponde à soma dos termos: 1\cdot 2^{5} + 1\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 1\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.

Passo 5

Calcular cada potência de 2 envolvida (mostrando passo a passo)\n
  • 2^{0}=1,\n
  • 2^{1}=2,\n
  • 2^{2}=4,\n
  • 2^{3}=8,\n
  • 2^{4}=16,\n
  • 2^{5}=32.

Passo 6

Substituir os valores das potências na soma (sem avaliar a soma final neste passo)\n
  • Substituindo os resultados do passo anterior obtemos: 1+2+4+8+16+32=\sum_{k=0}^{5}2^{k}.

Passo 7

Atalho útil (fórmula para uma sequência de uns no binário)\n
  • Para um número binário formado por n dígitos 1 (aqui n=6), existe a identidade: \sum_{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{n}-1.\n
  • Aplicando com n=6 temos a soma equivalente a 2^{6}-1.

Passo 8

Recapitulando o procedimento para usar na prova\n
  • Passo a passo prático em prova: (i) numerar as posições a partir de 0 da direita para a esquerda; (ii) expandir como soma de d_i\cdot 2^{i}; (iii) calcular as potências e somar, ou usar o atalho 2^{n}-1 se todos os dígitos forem 1.\n
  • Aqui aplicamos exatamente isso para (111111)_2.

Resposta

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