Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
(c) 42

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal 42 (base 10) para base 2 (binário).
Informações dadas e observações iniciais:
  • O número é inteiro e positivo: 42.
  • Não há parte fracionária, logo a representação em base 2 será finita (não é dízima periódica).
  • O que se pede é a escrita de 42 em base 2: um numeral formado por dígitos 0 e 1.

Passo 2

Explicação do método (divisões sucessivas):
  • Em base 2, cada dígito representa um coeficiente dos poderes de 2: por exemplo, um número com dígitos b_k b_{k-1}\dots b_1 b_0 vale
\sum_{i=0}^{k} b_i 2^i,
onde cada b_i\in\{0,1\}.
  • Para converter um inteiro positivo N para base 2 sem muita teoria, usa-se o método das divisões sucessivas por 2:
    1. Divide-se N por 2.
    2. Anota-se o resto ( 0 ou 1); esse resto é o dígito menos significativo (LSB).
    3. Substitui-se N pelo quociente inteiro e repete-se até o quociente ser 0.
    4. A leitura dos restos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro) dá os dígitos do número em base 2.
  • Vou aplicar exatamente esse procedimento em contas claras e passo a passo.

Passo 3

Aplicando divisões sucessivas a 42. Para cada etapa escrevo o quociente e o resto:
\begin{array}{rcl} 42 \div 2 &=& 21 \quad\text{com resto } 0,\\[4pt] 21 \div 2 &=& 10 \quad\text{com resto } 1,\\[4pt] 10 \div 2 &=& 5 \quad\text{com resto } 0,\\[4pt] 5 \div 2 &=& 2 \quad\text{com resto } 1,\\[4pt] 2 \div 2 &=& 1 \quad\text{com resto } 0,\\[4pt] 1 \div 2 &=& 0 \quad\text{com resto } 1. \end{array}
  • Os restos, do primeiro obtido ao último, foram: 0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 1.
  • Lendo os restos de baixo para cima (último resto → primeiro resto) obtemos os dígitos binários: 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0.]

Passo 4

Escrevendo a representação binária:
42_{10} = 101010_2.
Explicação e verificação rápida (somando potências de 2):
101010_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0.
Calculando cada termo:
1\cdot 2^5 = 32,\quad 1\cdot 2^3 = 8,\quad 1\cdot 2^1 = 2,
logo
32+8+2 = 42,
confirma que a conversão está correta.

Passo 5

Observações finais e dica para prova:
  • Como 42 é inteiro e finito em base 10, sua representação em base 2 também é finita (não há dízima).
  • Dica prática rápida: reconhecer potência de 2 mais próxima ajuda — aqui 2^5=32 cabe em 42, resta 10; depois 2^3=8 cabe, resta 2; depois 2^1=2 cabe, resta 0. Isso dá os mesmos bits 1 nas posições 5,3,1, resultando em 101010_2. Use esse método quando preferir subtração de potências em prova.

Resposta

\,42_{10}=101010_2

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