Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
(d) 77
(d) 77
Passo 1
O enunciado pede que se converta o número decimal
para a base
. Informação dada:
- O número a converter é
(inteiro e positivo). - Se a representação em base
for uma dízima periódica, devo indicar o padrão de repetição. (No caso de inteiros isso normalmente não ocorre; veremos por quê.)
Passo 2
Explicação do método (passo a passo e o porquê).
- Ideia: para converter um inteiro decimal para binário usa-se o método das divisões sucessivas por
. - Procedimento concreto:
- Dividir o número por
. - Registrar o resto da divisão (o resto será
ou ); esse resto é o dígito menos significativo (bit) atual. - Tomar o quociente obtido e repetir o processo até o quociente ser
. - A representação em binário é formada pelos restos lidos de baixo para cima (ou seja, do último resto obtido até o primeiro).
- Dividir o número por
- Por que funciona: pela propriedade da divisão eu posso escrever em cada passo
onde é o número atual, é o quociente inteiro e é o resto. Esses restos são exatamente os coeficientes na expansão em potências de : com . Cada divisão encontra sucessivamente.
Passo 3
Faço as divisões sucessivas de
por
e registro quocientes e restos. Cada linha abaixo usa a igualdade da divisão inteira:
- Nos passos acima, os restos (da primeira divisão para a última) são, na ordem em que foram obtidos:
. - Lembre: a ordem dos dígitos binários é o inverso da ordem de obtenção dos restos; para formar o número binário lê-se os restos do último obtido para o primeiro.
Passo 4
Organizando os restos do último para o primeiro (do quociente
para cima) obtemos a sequência de bits mais significativa para a menos significativa:
Esses são os dígitos binários (cada um é
ou
) que, concatenados sem vírgulas, formam a representação em base
.
Passo 5
Verificação: transformar a sequência de bits de volta para decimal usando pesos
. Se os bits, do mais significativo ao menos, forem
, então o valor decimal é
Substituindo os bits encontrados:
Calculo dos termos:
Resultado consistente: a conversão está correta.
Passo 6
Observação sobre dízimas e repetição:
- Como
é um inteiro (parte fracionária zero), sua representação em base é finita (não há dízima periódica). Dízimas aparecem quando se converte frações decimais que não têm representação finita na base-alvo; aqui não é o caso.