Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
(d) 77

Passo 1

O enunciado pede que se converta o número decimal 77 para a base 2. Informação dada:
  • O número a converter é 77 (inteiro e positivo).
  • Se a representação em base 2 for uma dízima periódica, devo indicar o padrão de repetição. (No caso de inteiros isso normalmente não ocorre; veremos por quê.)

Passo 2

Explicação do método (passo a passo e o porquê).
  • Ideia: para converter um inteiro decimal para binário usa-se o método das divisões sucessivas por 2.
  • Procedimento concreto:
    1. Dividir o número por 2.
    2. Registrar o resto da divisão (o resto será 0 ou 1); esse resto é o dígito menos significativo (bit) atual.
    3. Tomar o quociente obtido e repetir o processo até o quociente ser 0.
    4. A representação em binário é formada pelos restos lidos de baixo para cima (ou seja, do último resto obtido até o primeiro).
  • Por que funciona: pela propriedade da divisão eu posso escrever em cada passo n = 2\cdot q + r,onde n é o número atual, q é o quociente inteiro e r\in\{0,1\} é o resto. Esses restos são exatamente os coeficientes na expansão em potências de 2: n = d_k 2^k + d_{k-1} 2^{k-1} + \dots + d_1 2 + d_0,com d_i\in\{0,1\}. Cada divisão encontra d_0,d_1,\dots sucessivamente.

Passo 3

Faço as divisões sucessivas de 77 por 2 e registro quocientes e restos. Cada linha abaixo usa a igualdade da divisão inteira:
77 = 2\cdot 38 + 1
38 = 2\cdot 19 + 0
19 = 2\cdot 9 + 1
9 = 2\cdot 4 + 1
4 = 2\cdot 2 + 0
2 = 2\cdot 1 + 0
1 = 2\cdot 0 + 1
  • Nos passos acima, os restos (da primeira divisão para a última) são, na ordem em que foram obtidos: 1,0,1,1,0,0,1.
  • Lembre: a ordem dos dígitos binários é o inverso da ordem de obtenção dos restos; para formar o número binário lê-se os restos do último obtido para o primeiro.

Passo 4

Organizando os restos do último para o primeiro (do quociente 0 para cima) obtemos a sequência de bits mais significativa para a menos significativa:
1,\;0,\;0,\;1,\;1,\;0,\;1
Esses são os dígitos binários (cada um é 0 ou 1) que, concatenados sem vírgulas, formam a representação em base 2.

Passo 5

Verificação: transformar a sequência de bits de volta para decimal usando pesos 2^k. Se os bits, do mais significativo ao menos, forem d_6,d_5,\dots,d_0, então o valor decimal é
d_6 2^6 + d_5 2^5 + d_4 2^4 + d_3 2^3 + d_2 2^2 + d_1 2^1 + d_0 2^0.
Substituindo os bits encontrados:
1\cdot 2^6 + 0\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0.
Calculo dos termos:
1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 0\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 + 1\cdot 1 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77.
Resultado consistente: a conversão está correta.

Passo 6

Observação sobre dízimas e repetição:
  • Como 77 é um inteiro (parte fracionária zero), sua representação em base 2 é finita (não há dízima periódica). Dízimas aparecem quando se converte frações decimais que não têm representação finita na base-alvo; aqui não é o caso.

Resposta

\,1001101_2

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