Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
0,1
0,1
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
- Converter o número decimal
(ou seja, em base ) para base .\n - Se a expansão em base
for periódica (dízima), identificar claramente o padrão de repetição.
Passo 2
Ideia e método que vamos usar (explicação didática):\n
- Um número fracionário em base
pode ser convertido para base aplicando repetidamente a regra: multiplicar a parte fracionária por e anotar a parte inteira resultante como o próximo dígito binário à direita da vírgula. Repetir com a nova parte fracionária.\n - Por que isso funciona? Porque qualquer número fracionário
pode ser escrito como , onde cada . Multiplicar por desloca essa soma e torna a parte inteira igual a ; o resto é exatamente a soma com os termos a partir de . Repetindo obtemos .\n - Observação rápida sobre dízimas: se o número decimal é racional (como
), a expansão em base será finita somente se o denominador, depois de simplificar em fatores primos, tiver apenas o fator . Como tem fator , a expansão em base será periódica (dízima periódica).
Passo 3
Começando o algoritmo com
(que é
em base
). Vamos fazer iterações: multiplicar por
, anotar a parte inteira (bit) e manter a parte fracionária para a próxima iteração.
Passo 4
Iteração 1:\n
parte inteira
primeiro bit
.\n
nova parte fracionária .
nova parte fracionária
Passo 5
Iteração 2:\n
parte inteira
segundo bit
.\n
nova parte fracionária .
nova parte fracionária
Passo 6
Iteração 3:\n
parte inteira
terceiro bit
.\n
nova parte fracionária .
nova parte fracionária
Passo 7
Iteração 4:\n
parte inteira
quarto bit
.\n
nova parte fracionária .
nova parte fracionária
Passo 8
Iteração 5:\n
parte inteira
quinto bit
.\n
nova parte fracionária .
nova parte fracionária
Passo 9
Detecção de repetição:\n
- Observa-se que a nova parte fracionária
já apareceu na Iteração .\n - Isso significa que a sequência de restos a partir daí vai repetir os mesmos valores e, portanto, os bits resultantes vão repetir um bloco.\n
- Quais bits correspondem ao ciclo? A partir da primeira ocorrência de
(Iteração 2) obtivemos, nas iterações 2–5, os bits . Como o resto reapareceu na Iteração 5, esse bloco repete indefinidamente.
Passo 10
Montagem da expansão binária:\n
- Juntando os bits obtidos em ordem: primeiro bit (Iteração 1)
, depois o bloco periódico repetindo.\n - Logo, em base
o número é (a vírgula decimal mantida com vírgula conforme enunciado; a barra superior indica o bloco repetido).
Passo 11
Interpretação numérica e relação com teoria:\n
- Como verificado,
não tem representação finita em base porque o denominador tem fator primo além de . A ordem de módulo é , o que explica que o período tem comprimento (o bloco tem dígitos). Isso confirma a repetição encontrada.