Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
0,1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
  • Converter o número decimal 0,1 (ou seja, 0,1 em base 10) para base 2.\n
  • Se a expansão em base 2 for periódica (dízima), identificar claramente o padrão de repetição.

Passo 2

Ideia e método que vamos usar (explicação didática):\n
  • Um número fracionário em base 10 pode ser convertido para base 2 aplicando repetidamente a regra: multiplicar a parte fracionária por 2 e anotar a parte inteira resultante como o próximo dígito binário à direita da vírgula. Repetir com a nova parte fracionária.\n
  • Por que isso funciona? Porque qualquer número fracionário x pode ser escrito como \displaystyle x=\sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k}, onde cada b_k\in\{0,1\}. Multiplicar x por 2 desloca essa soma e torna a parte inteira igual a b_1; o resto é exatamente a soma com os termos a partir de k=2. Repetindo obtemos b_1,b_2,\dots.\n
  • Observação rápida sobre dízimas: se o número decimal é racional (como 0,1=\frac{1}{10}), a expansão em base 2 será finita somente se o denominador, depois de simplificar em fatores primos, tiver apenas o fator 2. Como 10=2\cdot5 tem fator 5, a expansão em base 2 será periódica (dízima periódica).

Passo 3

Começando o algoritmo com \displaystyle x=\frac{1}{10} (que é 0,1 em base 10). Vamos fazer iterações: multiplicar por 2, anotar a parte inteira (bit) e manter a parte fracionária para a próxima iteração.

Passo 4

Iteração 1:\n
0,1\times2=0,2
parte inteira =0 \Rightarrow primeiro bit =0.\n
nova parte fracionária =0,2.

Passo 5

Iteração 2:\n
0,2\times2=0,4
parte inteira =0 \Rightarrow segundo bit =0.\n
nova parte fracionária =0,4.

Passo 6

Iteração 3:\n
0,4\times2=0,8
parte inteira =0 \Rightarrow terceiro bit =0.\n
nova parte fracionária =0,8.

Passo 7

Iteração 4:\n
0,8\times2=1,6
parte inteira =1 \Rightarrow quarto bit =1.\n
nova parte fracionária =0,6.

Passo 8

Iteração 5:\n
0,6\times2=1,2
parte inteira =1 \Rightarrow quinto bit =1.\n
nova parte fracionária =0,2.

Passo 9

Detecção de repetição:\n
  • Observa-se que a nova parte fracionária 0,2 já apareceu na Iteração 2.\n
  • Isso significa que a sequência de restos a partir daí vai repetir os mesmos valores e, portanto, os bits resultantes vão repetir um bloco.\n
  • Quais bits correspondem ao ciclo? A partir da primeira ocorrência de 0,2 (Iteração 2) obtivemos, nas iterações 2–5, os bits 0,0,1,1. Como o resto 0,2 reapareceu na Iteração 5, esse bloco 0,0,1,1 repete indefinidamente.

Passo 10

Montagem da expansão binária:\n
  • Juntando os bits obtidos em ordem: primeiro bit (Iteração 1) =0, depois o bloco periódico 0,0,1,1 repetindo.\n
  • Logo, em base 2 o número é \,0,0\overline{0011}\, (a vírgula decimal mantida com vírgula conforme enunciado; a barra superior indica o bloco repetido).

Passo 11

Interpretação numérica e relação com teoria:\n
  • Como verificado, 0,1=\frac{1}{10} não tem representação finita em base 2 porque o denominador 10 tem fator primo 5 além de 2. A ordem de 2 módulo 5 é 4, o que explica que o período tem comprimento 4 (o bloco 0011 tem 4 dígitos). Isso confirma a repetição encontrada.

Resposta

(0,1)_{10}=(0,0\overline{0011})_{2}

Exercícios relacionados