Converta os números decimais abaixo para base 2 . No caso de dízimas, indique o padrão de repetição.
10,75

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal (10,75)_{10} para a base 2.
Informações dadas:
  • O número a converter é (10,75)_{10}, ou seja, parte inteira 10 e parte fracionária 0,75.

Passo 2

Como vamos dividir o problema: converter separadamente a parte inteira 10 e a parte fracionária 0,75, e depois juntar os resultados. Vou explicar os métodos antes de aplicar.
Método para a parte inteira (conversão por divisões sucessivas):
  • A ideia é dividir a parte inteira por 2 repetidamente.
  • A cada divisão obtém-se um quociente inteiro e um resto 0 ou 1.
  • O resto em cada etapa é o dígito binário menos significativo (LSB) naquele passo.
  • Lendo os restos do último obtido para o primeiro (ou seja, de baixo para cima) obtemos a representação binária da parte inteira.
    Exemplo formais: ao dividir n por 2 obtemos quociente q e resto r tais que n = 2q + r com r\in\{0,1\}.

Passo 3

Aplicando o método à parte inteira 10:
  • 10 \div 2 = 5 resto 0. (escreve-se r_1=0)
  • 5 \div 2 = 2 resto 1. (escreve-se r_2=1)
  • 2 \div 2 = 1 resto 0. (escreve-se r_3=0)
  • 1 \div 2 = 0 resto 1. (escreve-se r_4=1)
Agora lemos os restos de baixo para cima: r_4 r_3 r_2 r_1 = 1\,0\,1\,0.
Logo a parte inteira 10 vira (1010)_2.

Passo 4

Método para a parte fracionária (conversão por multiplicações sucessivas):
  • Multiplica-se a parte fracionária por 2.
  • A parte inteira do produto (que será 0 ou 1) é o próximo bit binário fracionário.
  • A nova parte fracionária é a parte decimal do produto; repete-se até que a parte fracionária vire 0 (caso finito) ou comece a repetir-se (caso dízima periódica).
    Formalmente, para fracção f com 0\le f<1: calcular sucessivamente 2f, 2(2f-\lfloor 2f\rfloor),\dots; os \lfloor 2f\rfloor formam os bits.

Passo 5

Aplicando o método à parte fracionária 0,75:
  • Primeiro passo: 0,75 \times 2 = 1,50. A parte inteira é 1 → primeiro bit fracionário é 1. Nova parte fracionária =0,50.
  • Segundo passo: 0,50 \times 2 = 1,00. A parte inteira é 1 → segundo bit fracionário é 1. Nova parte fracionária =0,00.
    Como a parte fracionária tornou-se 0, o processo termina e a parte fracionária tem representação finita.
Portanto a parte fracionária 0,75 vira 0,11_2 (bits na ordem: primeiro 1, depois 1).

Passo 6

Juntando as duas partes:
  • Parte inteira: (1010)_2.
  • Parte fracionária: (0,11)_2.
Logo (10,75)_{10} = (1010,11)_2.
Pequena checagem rápida (opcional, para confiar no resultado):
  • (1010,11)_2 = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 + 1\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2}.
  • Isso é 8 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 10 + 0,75 = 10,75. Corresponde ao original.

Resposta

(10,75)_{10} = (1010,11)_2

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