Converta os seguintes números da base 10 para a base 2
0.25

Passo 1

O que o problema pede: converter o número (0,25)_{10} (ou seja, decimal 0{,}25 na base 10) para a representação em base 2. Informação dada: o número é a parte fracionária 0{,}25 (não há parte inteira além de zero). A tarefa é encontrar a sequência de bits após a vírgula na base 2.

Passo 2

Entendendo como funcionam frações em binário (a teoria que você precisa saber). Em binário, os lugares à direita do ponto representam potências negativas de 2:
\begin{aligned} \text{o primeiro dígito após o ponto} &\longrightarrow 2^{-1}=\tfrac{1}{2}=0{,}5,\\\ \text{o segundo dígito após o ponto} &\longrightarrow 2^{-2}=\tfrac{1}{4}=0{,}25,\\\ \text{o terceiro dígito após o ponto} &\longrightarrow 2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0{,}125,\\\ \text{e assim por diante.} \end{aligned}íóíóíó
Qualquer fração binária (0,b_1b_2b_3\ldots)_2 representa o valor
b_1\cdot 2^{-1} + b_2\cdot 2^{-2} + b_3\cdot 2^{-3} + \cdots,
onde cada b_i é 0 ou 1. Isso é tudo que precisamos para checar resultados.

Passo 3

Método prático (multiplicação sucessiva por 2). Regra: para converter a parte fracionária f de base 10 para binário, repetimos:
  1. multiplicar f por 2,
  2. o inteiro da multiplicação ( 0 ou 1) é o próximo bit,
  3. a nova parte fracionária é o resto (parte decimal) e repetimos até o resto virar 0 ou até termos bits suficientes.
Vou aplicar essa regra passo a passo no número dado.

Passo 4

Aplicando o método ao número (0,25)_{10}.
Primeira multiplicação:
0{,}25 \times 2 = 0{,}50.
O inteiro dessa multiplicação é 0, então o primeiro bit após o ponto é 0. A nova parte fracionária é 0{,}50.
Segunda multiplicação:
0{,}50 \times 2 = 1{,}00.
O inteiro dessa multiplicação é 1, então o segundo bit após o ponto é 1. A nova parte fracionária é 0{,}00, ou seja, terminou o processo.
Portanto os bits gerados, na ordem, são 0 (primeiro) e depois 1 (segundo), resultando em b_1b_2 = 01.

Passo 5

Montando a representação binária: com os bits obtidos o número em base 2 é (0,01)_2. Explicando o porquê isso faz sentido com a teoria das potências de 2:
(0,01)_2 = 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} = 0 + 1\cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25.
Essa é a verificação: recomputando obtemos exatamente 0{,}25, então a conversão está correta.

Passo 6

Atalho (intuição numérica): como 0{,}25 = \tfrac{1}{4} e \tfrac{1}{4} = 2^{-2}, isso já indica imediatamente que o único bit não-nulo é o de posição 2^{-2}, ou seja, (0,01)_2. Use esse atalho quando a fração for uma potência negativa simples de 2.

Resposta

(0,25)_{10} = (0,01)_2

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