Encontre o polinômio interpolador pelo método de Newton para os pontos
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador pelos pontos
usando o método de Newton.
Dados fornecidos (pontos):
Dados fornecidos (pontos):
Passo 2
O método exigido é o interpolador de Newton com diferenças divididas. Vou explicar a fórmula e o que cada símbolo significa.
A forma de Newton para o polinômio interpolador de grau até 3 (quatro pontos) é:
A forma de Newton para o polinômio interpolador de grau até 3 (quatro pontos) é:
Aqui:
-
é simplesmente o valor do ponto . -
é a diferença dividida de primeira ordem entre e , definida por
-
é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
e assim por diante. Cada coeficiente multiplicará um produto de termos
.
Vou construir a tabela de diferenças divididas passo a passo e extrair os coeficientes.
Passo 3
Primeira coluna: valores
:
Calculo das diferenças divididas de primeira ordem:
Passo 4
Agora as diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 5
Diferença dividida de terceira ordem:
Agora já temos todos os coeficientes que entram na forma de Newton:
Passo 6
Escrevo o polinômio de Newton substituindo os coeficientes e
:
Essa é a forma de Newton; é válida e muitas vezes já é a forma mais prática na prova porque permite adicionar pontos sem reexpandir tudo.
Passo 7
Agora vou expandir passo a passo para obter a forma polinomial padrão (coeficientes em potências de
). Primeiro some os dois primeiros termos:
Adicionar o termo quadrático
:
Somando com
:
Até aqui temos
.
Passo 8
Agora o termo cúbico: multiplico e expando
.
Primeiro . Em seguida
Primeiro
Multiplico por
:
Passo 9
Somando com o polinômio parcial
:
Coeficiente de :
Coeficiente de
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto, em forma expandida:
Passo 10
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituindo os pontos originais deve-se obter os
correspondentes.
Para : numerador
, dividido por
dá
.
Para : numerador
, dividido por
dá
.
Para : numerador
, dividido por
dá
.
Para : numerador
, dividido por
dá
.
Confere: o polinômio passa por todos os pontos dados.
Para
Para
Para
Para
Confere: o polinômio passa por todos os pontos dados.