Encontre o polinômio interpolador pelo método de Newton para os pontos (1,2),(2,5),(3,10),(4,1)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio interpolador pelos pontos (1,2), (2,5), (3,10), (4,1) usando o método de Newton.
Dados fornecidos (pontos):
(x_1,y_1)=(1,2),\quad (x_2,y_2)=(2,5),\quad (x_3,y_3)=(3,10),\quad (x_4,y_4)=(4,1).

Passo 2

O método exigido é o interpolador de Newton com diferenças divididas. Vou explicar a fórmula e o que cada símbolo significa.
A forma de Newton para o polinômio interpolador de grau até 3 (quatro pontos) é:
P(x)=f[x_1] + f[x_1,x_2](x-x_1) + f[x_1,x_2,x_3](x-x_1)(x-x_2) + f[x_1,x_2,x_3,x_4](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
Aqui:
  • f[x_i] é simplesmente o valor y_i do ponto x_i.
  • f[x_i,x_j] é a diferença dividida de primeira ordem entre x_i e x_j, definida por
f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}.
  • f[x_i,x_j,x_k] é a diferença dividida de segunda ordem, definida por
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i},
e assim por diante. Cada coeficiente multiplicará um produto de termos (x-x_{r}).
Vou construir a tabela de diferenças divididas passo a passo e extrair os coeficientes.

Passo 3

Primeira coluna: valores f[x_i]=y_i:
f[x_1]=2,\quad f[x_2]=5,\quad f[x_3]=10,\quad f[x_4]=1.
Calculo das diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_1,x_2]=\frac{f[x_2]-f[x_1]}{x_2-x_1}=\frac{5-2}{2-1}=\frac{3}{1}=3.
f[x_2,x_3]=\frac{f[x_3]-f[x_2]}{x_3-x_2}=\frac{10-5}{3-2}=\frac{5}{1}=5.
f[x_3,x_4]=\frac{f[x_4]-f[x_3]}{x_4-x_3}=\frac{1-10}{4-3}=\frac{-9}{1}=-9.

Passo 4

Agora as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{5-3}{3-1}=\frac{2}{2}=1.
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}=\frac{-9-5}{4-2}=\frac{-14}{2}=-7.

Passo 5

Diferença dividida de terceira ordem:
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}=\frac{-7-1}{4-1}=\frac{-8}{3}=-\frac{8}{3}.
Agora já temos todos os coeficientes que entram na forma de Newton:
f[x_1]=2,\quad f[x_1,x_2]=3,\quad f[x_1,x_2,x_3]=1,\quad f[x_1,x_2,x_3,x_4]=-\frac{8}{3}.

Passo 6

Escrevo o polinômio de Newton substituindo os coeficientes e x_1=1,x_2=2,x_3=3:
P(x)=2 + 3(x-1) + 1\,(x-1)(x-2) -\frac{8}{3}\,(x-1)(x-2)(x-3).
Essa é a forma de Newton; é válida e muitas vezes já é a forma mais prática na prova porque permite adicionar pontos sem reexpandir tudo.

Passo 7

Agora vou expandir passo a passo para obter a forma polinomial padrão (coeficientes em potências de x). Primeiro some os dois primeiros termos:
2 + 3(x-1)=2+3x-3=3x-1.
Adicionar o termo quadrático (x-1)(x-2):
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2.
Somando com 3x-1:
3x-1 + (x^2-3x+2)=x^2 + 1.
Até aqui temos x^2+1.

Passo 8

Agora o termo cúbico: multiplico e expando (x-1)(x-2)(x-3).
Primeiro (x-1)(x-2)=x^2-3x+2. Em seguida
(x^2-3x+2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6.
Multiplico por -\dfrac{8}{3}:
-\frac{8}{3}\,(x^3-6x^2+11x-6)=-\frac{8}{3}x^3 + 16x^2 - \frac{88}{3}x + 16.

Passo 9

Somando com o polinômio parcial x^2+1:
Coeficiente de x^3:
-\frac{8}{3}.
Coeficiente de x^2:
1 + 16 = 17.
Coeficiente de x:
0 - \frac{88}{3} = -\frac{88}{3}.
Termo constante:
1 + 16 = 17.
Portanto, em forma expandida:
P(x)=-\frac{8}{3}x^3 + 17x^2 - \frac{88}{3}x + 17.

Passo 10

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituindo os pontos originais deve-se obter os y correspondentes.
Para x=1: numerador -8+51-88+51=6, dividido por 3 2.
Para x=2: numerador -64+204-176+51=15, dividido por 3 5.
Para x=3: numerador -216+459-264+51=30, dividido por 3 10.
Para x=4: numerador -512+816-352+51=3, dividido por 3 1.
Confere: o polinômio passa por todos os pontos dados.

Resposta

P(x)=2 + 3(x-1) + (x-1)(x-2) -\frac{8}{3}(x-1)(x-2)(x-3)
P(x)=-\frac{8}{3}x^3 + 17x^2 - \frac{88}{3}x + 17

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