Converta os seguintes números decimais para a base binária: \mathrm{x}= 47 ; \mathrm{y}=93 ; \mathrm{z}=26,35 ; \mathrm{w}=0,1217.

Passo 1

O enunciado pede que convertamos os seguintes números da base decimal para a base binária:
  • x = 47
  • y = 93
  • z = 26{,}35
  • w = 0{,}1217
Informações relevantes fornecidas:
  • Todos os números estão em base decimal ( 10).
  • Para os números com parte fracionária ( z e w ) precisamos converter tanto a parte inteira quanto a parte fracionária.
  • Não foi dada precisão exigida para as frações; então vou obter a expansão exata quando possível (detectando repetição) e, quando não for razoável obter repetição curta, fornecer uma aproximação em binário com indicação da quantidade de dígitos.

Passo 2

Como converter inteiros (método que usarei para x,y e para a parte inteira de z):
  • Técnica: dividir sucessivamente por 2 e anotar os restos.
  • Esquema: para um inteiro N, calcular as divisões N = 2q_0 + r_0,\quad q_0 = 2q_1 + r_1,\quad q_1 = 2q_2 + r_2,\\ \dotsonde cada resto r_i\in\{0,1\}. A representação binária de N é a sequência dos restos lidos de baixo para cima (último resto obtido até o primeiro).
  • Exemplo rápido: se obtiver restos 1,1,0,1 (da primeira divisão até a última) a leitura invertida dá a sequência binária.

Passo 3

Converter x = 47 por divisões sucessivas por 2. Vou mostrar cada divisão (colocando o quociente e o resto):
\begin{array}{l} 47 \div 2 = 23\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 23 \div 2 = 11\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 11 \div 2 = 5\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 5 \div 2 = 2\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 2 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima (último resto ao primeiro) obtemos a sequência
1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1.
Portanto
x = 47_{10} = 101111_2.

Passo 4

Converter y = 93 da mesma forma:
\begin{array}{l} 93 \div 2 = 46\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 46 \div 2 = 23\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 23 \div 2 = 11\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 11 \div 2 = 5\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 5 \div 2 = 2\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 2 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima:
1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\\ 1.
Logo
y = 93_{10} = 1011101_2.

Passo 5

Como converter frações (método que usarei para as partes fracionárias de z e w):
  • Técnica: multiplicar a parte fracionária por 2 repetidamente. Em cada multiplicação, a parte inteira do resultado ( 0 ou 1 ) é o próximo bit binário; a nova parte fracionária é a parte decimal restante.
  • Esquema: para 0{,}f em base decimal, calcular 2\cdot f = b_1 + f_1 \quad (b_1\in\{0,1\}),
2\cdot f_1 = b_2 + f_2,\\ \dots
A sequência b_1 b_2 b_3\ldots é a parte fracionária em binário 0.b_1 b_2 b_3\ldots_2.
  • Observação importante: se a fração for racional (como 35/100 ou 1217/10000), a expansão binária ou termina (se o denominador tiver apenas fatores 2) ou repete ciclicamente (se o denominador tiver fatores primos diferentes de 2). Para detectar repetição, ao obter uma parte fracionária já vista antes, o bloco entre as duas ocorrências é repetitivo.

Passo 6

Converter z = 26{,}35.
Primeiro a parte inteira 26:
\begin{array}{l} 26 \div 2 = 13\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 13 \div 2 = 6\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 6 \div 2 = 3\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 3 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo de baixo para cima: 1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0. Assim
26_{10} = 11010_2.
Agora a parte fracionária 0{,}35. Vou aplicar multiplicações por 2 e anotar o bit e a nova fração:
\begin{array}{l} 0{,}35 \times 2 = 0{,}70 \quad\Rightarrow\quad b_1=0,\\ \text{frac}=0{,}70\\\\ 0{,}70 \times 2 = 1{,}40 \quad\Rightarrow\quad b_2=1,\\ \text{frac}=0{,}40\\\\ 0{,}40 \times 2 = 0{,}80 \quad\Rightarrow\quad b_3=0,\\ \text{frac}=0{,}80\\\\ 0{,}80 \times 2 = 1{,}60 \quad\Rightarrow\quad b_4=1,\\ \text{frac}=0{,}60\\\\ 0{,}60 \times 2 = 1{,}20 \quad\Rightarrow\quad b_5=1,\\ \text{frac}=0{,}20\\\\ 0{,}20 \times 2 = 0{,}40 \quad\Rightarrow\quad b_6=0,\\ \text{frac}=0{,}40 \end{array}
Repare que a fração 0{,}40 já apareceu após a segunda multiplicação (foi a fração obtida depois de b_2). Como voltamos a 0{,}40 em b_6, a sequência de bits entre as duas ocorrências de 0{,}40 (isto é, os bits b_3,b_4,b_5,b_6) vai se repetir ciclicamente a partir daí.
Listando os bits na ordem obtida:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 \dots = 0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\ \dots
O bloco repetido (do primeiro 0{,}40 ao seu reaparecimento) é 0110. Portanto a parte fracionária tem a forma periódica com pré‑período 01 e período 0110. Escrevendo de modo compacto:
0{,}35_{10} = 0{,}01\overline{0110}_2
Juntando com a parte inteira:
z = 26{,}35_{10} = 11010{,}01\overline{0110}_2.

Passo 7

Converter w = 0{,}1217.
Comentário prévio: 0{,}1217 = \dfrac{1217}{10000}. O denominador 10000=2^4\cdot5^4 contém fatores 5, logo a expansão em base 2 será periódica (não terminará). Vou calcular bits sucessivos usando multiplicação por 2. Para controlar o tamanho da resposta, vou mostrar passo a passo até obter uma boa aproximação (aqui apresento os primeiros 20 bits) e indicar que a sequência continua periódica sem um ciclo curto simples.
Processo (cada linha: resultado da multiplicação, bit produzido, nova fração):
\begin{array}{l} 0{,}1217\times2 = 0{,}2434 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}2434\times2 = 0{,}4868 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}4868\times2 = 0{,}9736 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}9736\times2 = 1{,}9472 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}9472\times2 = 1{,}8944 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}8944\times2 = 1{,}7888 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}7888\times2 = 1{,}5776 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}5776\times2 = 1{,}1552 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}1552\times2 = 0{,}3104 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}3104\times2 = 0{,}6208 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}6208\times2 = 1{,}2416 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}2416\times2 = 0{,}4832 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}4832\times2 = 0{,}9664 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}9664\times2 = 1{,}9328 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}9328\times2 = 1{,}8656 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}8656\times2 = 1{,}7312 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}7312\times2 = 1{,}4624 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}4624\times2 = 0{,}9248 \quad\Rightarrow\quad 0\\\\ 0{,}9248\times2 = 1{,}8496 \quad\Rightarrow\quad 1\\\\ 0{,}8496\times2 = 1{,}6992 \quad\Rightarrow\quad 1 \end{array}
Os primeiros 20 bits após a vírgula (em ordem) são:
0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 1.
Portanto, com 20 bits de fração:
w \approx 0{,}00011111001001111011_2 \quad(\text{aprox. com 20 bits fracionários}).á
Observação: a expansão é periódica (não termina) porque o denominador original tem fator 5; se for necessário mais precisão basta continuar as multiplicações por 2 e obter mais bits. Para fins de prova, a aproximação com 20 bits geralmente já é mais do que suficiente.

Resposta

x = 47_{10} = 101111_2
y = 93_{10} = 1011101_2
z = 26{,}35_{10} = 11010{,}01\overline{0110}_2
w = 0{,}1217_{10} \approx 0{,}00011111001001111011_2

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