Converta os seguintes números decimais para a base binária: \mathrm{x}= 47 ; \mathrm{y}=93 ; \mathrm{z}=26,35 ; \mathrm{w}=0,1217.
Passo 1
O enunciado pede que convertamos os seguintes números da base decimal para a base binária:
x = 47
y = 93
z = 26{,}35
w = 0{,}1217
Informações relevantes fornecidas:
Todos os números estão em base decimal (10).
Para os números com parte fracionária ( z e w ) precisamos converter tanto a parte inteira quanto a parte fracionária.
Não foi dada precisão exigida para as frações; então vou obter a expansão exata quando possível (detectando repetição) e, quando não for razoável obter repetição curta, fornecer uma aproximação em binário com indicação da quantidade de dígitos.
Passo 2
Como converter inteiros (método que usarei para x,y e para a parte inteira de z):
Técnica: dividir sucessivamente por 2 e anotar os restos.
Esquema: para um inteiro N, calcular as divisõesN = 2q_0 + r_0,\quad q_0 = 2q_1 + r_1,\quad q_1 = 2q_2 + r_2,\\ \dotsonde cada resto r_i\in\{0,1\}. A representação binária de N é a sequência dos restos lidos de baixo para cima (último resto obtido até o primeiro).
Exemplo rápido: se obtiver restos 1,1,0,1 (da primeira divisão até a última) a leitura invertida dá a sequência binária.
Passo 3
Converter x = 47 por divisões sucessivas por 2. Vou mostrar cada divisão (colocando o quociente e o resto):
Como converter frações (método que usarei para as partes fracionárias de z e w):
Técnica: multiplicar a parte fracionária por 2 repetidamente. Em cada multiplicação, a parte inteira do resultado ( 0 ou 1 ) é o próximo bit binário; a nova parte fracionária é a parte decimal restante.
Esquema: para 0{,}f em base decimal, calcular2\cdot f = b_1 + f_1 \quad (b_1\in\{0,1\}),
2\cdot f_1 = b_2 + f_2,\\ \dots
A sequência b_1 b_2 b_3\ldots é a parte fracionária em binário 0.b_1 b_2 b_3\ldots_2.
Observação importante: se a fração for racional (como 35/100 ou 1217/10000), a expansão binária ou termina (se o denominador tiver apenas fatores 2) ou repete ciclicamente (se o denominador tiver fatores primos diferentes de 2). Para detectar repetição, ao obter uma parte fracionária já vista antes, o bloco entre as duas ocorrências é repetitivo.
Repare que a fração 0{,}40 já apareceu após a segunda multiplicação (foi a fração obtida depois de b_2). Como voltamos a 0{,}40 em b_6, a sequência de bits entre as duas ocorrências de 0{,}40 (isto é, os bits b_3,b_4,b_5,b_6) vai se repetir ciclicamente a partir daí.
O bloco repetido (do primeiro 0{,}40 ao seu reaparecimento) é 0110. Portanto a parte fracionária tem a forma periódica com pré‑período 01 e período 0110. Escrevendo de modo compacto:
0{,}35_{10} = 0{,}01\overline{0110}_2
Juntando com a parte inteira:
z = 26{,}35_{10} = 11010{,}01\overline{0110}_2.
Passo 7
Converter w = 0{,}1217.
Comentário prévio: 0{,}1217 = \dfrac{1217}{10000}. O denominador 10000=2^4\cdot5^4 contém fatores 5, logo a expansão em base 2 será periódica (não terminará). Vou calcular bits sucessivos usando multiplicação por 2. Para controlar o tamanho da resposta, vou mostrar passo a passo até obter uma boa aproximação (aqui apresento os primeiros 20 bits) e indicar que a sequência continua periódica sem um ciclo curto simples.
Processo (cada linha: resultado da multiplicação, bit produzido, nova fração):
w \approx 0{,}00011111001001111011_2 \quad(\text{aprox. com 20 bits fracionários}).á
Observação: a expansão é periódica (não termina) porque o denominador original tem fator 5; se for necessário mais precisão basta continuar as multiplicações por 2 e obter mais bits. Para fins de prova, a aproximação com 20 bits geralmente já é mais do que suficiente.
Resposta
x = 47_{10} = 101111_2
y = 93_{10} = 1011101_2
z = 26{,}35_{10} = 11010{,}01\overline{0110}_2 w = 0{,}1217_{10} \approx 0{,}00011111001001111011_2