Explique o que é erro de arredondamento e erro de truncamento. Exemplifique

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem diretas:
  • Explicar o que é erro de arredondamento (erro de round-off).
  • Explicar o que é erro de truncamento (erro de truncamento/truncamento de série ou discretização).
    Além disso, pede exemplificar cada um. Vou listar passo a passo os conceitos e depois dar exemplos numéricos simples para ficar fácil de entender e lembrar na prova.

Passo 2

Antes de falar dos erros, entenda rapidinho por que eles aparecem: computadores e métodos numéricos trabalham com representações finitas. Um número real x não cabe em geral de forma exata; em ponto-flutuante um número é armazenado aproximadamente como
x \approx \pm m \times b^{e},
onde b é a base (normalmente 2), m é a mantissa com um número finito t de dígitos e e é o expoente. Essa representação finita causa erros quando um número real é aproximado por essa forma finita — é aí que aparece o erro de arredondamento. Além disso, muitos métodos aproximam processos infinitos (séries, derivadas exatas, integrais exatas) por versões finitas — aí aparece o erro de truncamento.

Passo 3

Definição de erro de arredondamento (round-off)
  • Conceito: erro gerado por representar números reais com precisão finita ou por operações aritméticas realizadas em precisão finita. É intrínseco ao uso de ponto-flutuante.
  • Notação: se o valor exato é x e a sua representação/resultado armazenado é \hat{x}, o erro absoluto de arredondamento é
\text{erro}_{\text{abs}}=\hat{x}-x,
e o erro relativo é
\text{erro}_{\text{rel}}=\frac{\hat{x}-x}{x}\quad (\text{se }x\neq0).
  • Limite geral: para aritmética com base b e mantissa de t dígitos, o “unit roundoff” u (ordem de grandeza do erro relativo por arredondamento ao representar um número) satisfaz aproximadamente
u\approx\frac{1}{2}b^{1-t}.
Isto garante que toda representação por arredondamento tem erro relativo da ordem de u.

Passo 4

Exemplo prático de erro de arredondamento (representação decimal)
  • Considere o número exato x=0{,}123456789.
  • Se armazenarmos apenas 5 casas decimais (arredondando para o mais próximo), representamos \hat{x}=0{,}12346.
  • Erro absoluto:
\text{erro}_{\text{abs}}=\hat{x}-x=0{,}12346-0{,}123456789=0{,}000003211.
  • Erro relativo:
\text{erro}_{\text{rel}}=\frac{0{,}000003211}{0{,}123456789}\approx0{,}000026=2{,}6\times10^{-5}.
Comentário: esse erro surgiu só porque limitamos o número de casas decimais. Operações como soma de números de magnitudes muito diferentes também podem gerar erros por cancelamento numérico (perda de dígitos significativos) — outro efeito típico do arredondamento.

Passo 5

Definição de erro de truncamento (truncation error)
  • Conceito: erro gerado por aproximar um processo matemático infinito por uma versão finita. Exemplos comuns: truncar uma série infinita, usar passo h>0 para aproximar derivada ou integral, interromper uma iteração antes da convergência.
  • Notação: se o valor exato de interesse é A e a aproximação finita é A_N, então
\text{erro}_{\text{trunc}}=A-A_N.
  • Importante: esse erro costuma depender de parâmetros do método (nº de termos N, tamanho do passo h, ordem do esquema) e decresce quando aumenta-se a “capacidade” do método (mais termos, passo menor, ordem maior).

Passo 6

Exemplo de truncamento: série de Taylor para e^x
  • Identidade exata (série de Taylor centrada em 0):
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}.
  • Se truncarmos após n termos, obtemos a aproximação
S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!},
e o erro de truncamento é o resto
R_{n}(x)=e^{x}-S_n(x).
  • Exemplo numérico: para x=1 e n=1 (usar só 1+x),
S_1(1)=1+1=2,
logo o erro de truncamento é
R_1(1)=e-2\approx2{,}718281828-2=0{,}718281828.
Se usarmos n=2, S_2(1)=1+1+\tfrac{1}{2}=2{,}5, erro R_2(1)\approx0{,}218281828. A redução do erro ao aumentar n é típica do truncamento.

Passo 7

Exemplo de truncamento em derivada numérica (discretização)
  • Fórmula do quociente progressivo (forward difference) para derivada:
f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Esta fórmula tem erro de truncamento da ordem de h: existe \xi entre x e x+h tal que
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2}f''(\xi).
Logo o erro de truncamento é \dfrac{h}{2}f''(\xi), que tende a 0 quando h\to0.
  • Exemplo numérico: f(x)=\sin x em x=0 tem f'(0)=1. Para h=0{,}1,
\frac{\sin(0{,}1)-\sin 0}{0{,}1}=\frac{0{,}0998334166}{0{,}1}=0{,}998334166,
erro de truncamento \approx -0{,}001665834, compatível com O(h).

Passo 8

Interplay entre arredondamento e truncamento (por que isso é importante)
  • Ao reduzir h para diminuir o erro de truncamento num esquema como a diferença finita, aumenta-se o efeito do erro de arredondamento porque se subtrai números muito próximos e depois divide por um h pequeno (cancelamento + amplificação do arredondamento).
  • Modelo simples: truncation error \sim C_1 h^p (onde p é a ordem do método) e rounding error \sim C_2 \frac{u}{h} (onde u é o unit roundoff). O erro total aproximado é
\text{erro}_{\text{total}}(h)\approx C_1 h^p + C_2\frac{u}{h}.
Minimizando em h obtém-se um compromisso entre ambos. Para o caso do forward difference com p=1, a escolha ideal grosseira é h\sim\sqrt{u}. Isso mostra que nem sempre “quanto menor h, melhor” — há um ponto ótimo devido ao arredondamento.

Passo 9

Como reduzir cada tipo de erro (dicas práticas para prova)
  • Para reduzir erro de arredondamento:
    • Usar precisão maior (mais bits / casas decimais).
    • Reescrever fórmulas para evitar cancelamento (por exemplo, evitar subtração de números quase iguais).
    • Usar algoritmos numericamente estáveis.
  • Para reduzir erro de truncamento:
    • Usar passo menor h ou mais termos N, ou um método de ordem maior (aumenta p).
    • Usar esquemas com maior ordem de convergência (por exemplo, diferença central tem ordem p=2 em vez de p=1).
  • Sempre na prova: identifique de onde vem o erro pedido (representação finita → arredondamento; término de um processo infinito/discretização → truncamento) e explique como mudaria com parâmetros ( t, h, N, precisão).

Passo 10

Resumo ilustrativo final (mental map que ajuda na prova)
  • Erro de arredondamento = vem da representação finita / operações em máquina. Ex.: armazenar 0{,}123456789 com 5 casas → \hat{x}=0{,}12346.
  • Erro de truncamento = vem de cortar um processo infinito para finito (truncar série, usar passo h). Ex.: aproximar e^{1} por 1+1=2 dá erro e-2\approx0{,}7183; aproximar f'(x) por diferença finita tem erro proporcional a h.

Resposta

Erro de arredondamento: erro gerado por representar números/operar em precisão finita (ponto-flutuante); ex.: x=0{,}123456789 representado com 5 casas como \hat{x}=0{,}12346 tem erro absoluto \hat{x}-x=0{,}000003211.\nErro de truncamento: erro gerado por aproximar um processo infinito por uma versão finita (truncar séries, discretizar derivadas/integrais); ex.: aproximar e^{1} por 1+1=2 tem erro de truncamento e-2\approx0{,}718281828.

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