Explique o que é erro de arredondamento e erro de truncamento. Exemplifique
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem diretas:
- Explicar o que é erro de arredondamento (erro de round-off).
- Explicar o que é erro de truncamento (erro de truncamento/truncamento de série ou discretização).
Além disso, pede exemplificar cada um. Vou listar passo a passo os conceitos e depois dar exemplos numéricos simples para ficar fácil de entender e lembrar na prova.
Passo 2
Antes de falar dos erros, entenda rapidinho por que eles aparecem: computadores e métodos numéricos trabalham com representações finitas. Um número real
não cabe em geral de forma exata; em ponto-flutuante um número é armazenado aproximadamente como
onde
é a base (normalmente
),
é a mantissa com um número finito
de dígitos e
é o expoente. Essa representação finita causa erros quando um número real é aproximado por essa forma finita — é aí que aparece o erro de arredondamento. Além disso, muitos métodos aproximam processos infinitos (séries, derivadas exatas, integrais exatas) por versões finitas — aí aparece o erro de truncamento.
Passo 3
Definição de erro de arredondamento (round-off)
- Conceito: erro gerado por representar números reais com precisão finita ou por operações aritméticas realizadas em precisão finita. É intrínseco ao uso de ponto-flutuante.
- Notação: se o valor exato é
e a sua representação/resultado armazenado é , o erro absoluto de arredondamento é
e o erro relativo é
- Limite geral: para aritmética com base
e mantissa de dígitos, o “unit roundoff” (ordem de grandeza do erro relativo por arredondamento ao representar um número) satisfaz aproximadamente
Isto garante que toda representação por arredondamento tem erro relativo da ordem de
.
Passo 4
Exemplo prático de erro de arredondamento (representação decimal)
- Considere o número exato
. - Se armazenarmos apenas
casas decimais (arredondando para o mais próximo), representamos . - Erro absoluto:
- Erro relativo:
Comentário: esse erro surgiu só porque limitamos o número de casas decimais. Operações como soma de números de magnitudes muito diferentes também podem gerar erros por cancelamento numérico (perda de dígitos significativos) — outro efeito típico do arredondamento.
Passo 5
Definição de erro de truncamento (truncation error)
- Conceito: erro gerado por aproximar um processo matemático infinito por uma versão finita. Exemplos comuns: truncar uma série infinita, usar passo
para aproximar derivada ou integral, interromper uma iteração antes da convergência. - Notação: se o valor exato de interesse é
e a aproximação finita é , então
- Importante: esse erro costuma depender de parâmetros do método (nº de termos
, tamanho do passo , ordem do esquema) e decresce quando aumenta-se a “capacidade” do método (mais termos, passo menor, ordem maior).
Passo 6
Exemplo de truncamento: série de Taylor para
- Identidade exata (série de Taylor centrada em
):
- Se truncarmos após
termos, obtemos a aproximação
e o erro de truncamento é o resto
- Exemplo numérico: para
e (usar só ),
logo o erro de truncamento é
Se usarmos
,
, erro
. A redução do erro ao aumentar
é típica do truncamento.
Passo 7
Exemplo de truncamento em derivada numérica (discretização)
- Fórmula do quociente progressivo (forward difference) para derivada:
- Esta fórmula tem erro de truncamento da ordem de
: existe entre e tal que
Logo o erro de truncamento é
, que tende a
quando
.
- Exemplo numérico:
em tem . Para ,
erro de truncamento
, compatível com
.
Passo 8
Interplay entre arredondamento e truncamento (por que isso é importante)
- Ao reduzir
para diminuir o erro de truncamento num esquema como a diferença finita, aumenta-se o efeito do erro de arredondamento porque se subtrai números muito próximos e depois divide por um pequeno (cancelamento + amplificação do arredondamento). - Modelo simples: truncation error
(onde é a ordem do método) e rounding error (onde é o unit roundoff). O erro total aproximado é
Minimizando em
obtém-se um compromisso entre ambos. Para o caso do forward difference com
, a escolha ideal grosseira é
. Isso mostra que nem sempre “quanto menor
, melhor” — há um ponto ótimo devido ao arredondamento.
Passo 9
Como reduzir cada tipo de erro (dicas práticas para prova)
- Para reduzir erro de arredondamento:
- Usar precisão maior (mais bits / casas decimais).
- Reescrever fórmulas para evitar cancelamento (por exemplo, evitar subtração de números quase iguais).
- Usar algoritmos numericamente estáveis.
- Para reduzir erro de truncamento:
- Usar passo menor
ou mais termos , ou um método de ordem maior (aumenta ). - Usar esquemas com maior ordem de convergência (por exemplo, diferença central tem ordem
em vez de ).
- Usar passo menor
- Sempre na prova: identifique de onde vem o erro pedido (representação finita → arredondamento; término de um processo infinito/discretização → truncamento) e explique como mudaria com parâmetros (
, , , precisão).
Passo 10
Resumo ilustrativo final (mental map que ajuda na prova)
- Erro de arredondamento = vem da representação finita / operações em máquina. Ex.: armazenar
com 5 casas → . - Erro de truncamento = vem de cortar um processo infinito para finito (truncar série, usar passo
). Ex.: aproximar por dá erro ; aproximar por diferença finita tem erro proporcional a .
Resposta
Erro de arredondamento: erro gerado por representar números/operar em precisão finita (ponto-flutuante); ex.:
representado com 5 casas como
tem erro absoluto
.\nErro de truncamento: erro gerado por aproximar um processo infinito por uma versão finita (truncar séries, discretizar derivadas/integrais); ex.: aproximar
por
tem erro de truncamento
.