Converta os valores Decimais para Binário representado em Complemento-2, utilizando o menor número de bits possível em cada caso.
11_{10}= & -11_{10}=

Passo 1

O enunciado pede que a gente converta dois valores decimais para binário representado em complemento de dois, usando o menor número de bits possível em cada caso. Os valores dados são:
11_{10} e -11_{10}.

Passo 2

O que é preciso saber (de forma direta e prática):
  • Em complemento de dois com n bits, o intervalo de inteiros representáveis é
[-2^{\,n-1},\;2^{\,n-1}-1].
Isto significa que, para representar um certo inteiro x, devemos escolher o menor n tal que x caiba nesse intervalo.
  • Para números positivos em complemento de dois, basta escrever o binário normal e completar com zeros à esquerda até atingir n bits (o bit mais significativo será 0).
  • Para números negativos em complemento de dois, uma forma prática é: escreva o valor absoluto em binário com n bits, inverta todos os bits (0→1 e 1→0) e some 1 — isso dá a representação em complemento de dois (o bit mais significativo será 1).
Vou aplicar isso passo a passo para cada número.

Passo 3

Determinar o menor número de bits para 11_{10}.
  • Para caber em complemento de dois com n bits precisamos que
2^{\,n-1}-1 \ge 11.
  • Resolver essa desigualdade: 2^{\,n-1} \ge 12. Os potes de 2 são 2^3=8, 2^4=16. Logo 2^{\,n-1}=16 é o primeiro maior ou igual a 12, então n-1=4 e n=5.
  • Portanto o menor número de bits possível é n=5.
Agora converto 11 para binário e ajusto para 5 bits:
  • 11 em binário natural é 11 = 8 + 2 + 1, ou seja, os pesos 2^3,2^1,2^0 estão presentes. Em binário isso é 1011.
  • Em 5 bits, acrescentamos um zero à esquerda para o sinal: 01011.
Confirmação rápida: em 5 bits o maior inteiro positivo é 2^{4}-1=15, que inclui 11. O bit de sinal é 0, então é positivo.

Passo 4

Determinar o menor número de bits para -11_{10}.
  • Para representar -11 precisamos que o limite negativo satisfaça
-2^{\,n-1} \le -11 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{\,n-1} \ge 11.
  • Novamente 2^{4}=16 é o primeiro que satisfaz, então n-1=4 e n=5.
  • Portanto o menor número de bits possível também é n=5.
Converter -11 em complemento de dois com 5 bits (método prático: inverter + 1):
  • Primeiro escrevemos +11 em 5 bits: já achamos 01011.
  • Invertemos todos os bits: 01011 \to 10100.
  • Somamos 1: 10100 + 1 = 10101.
Verificação (explicação do porquê funciona): em 5 bits o valor da palavra 10101 é
-2^{4} + 0\cdot2^{3} + 1\cdot2^{2} + 0\cdot2^{1} + 1\cdot2^{0} = -16 + 4 + 1 = -11.
Portanto 10101 representa mesmo -11 em complemento de dois com 5 bits.

Passo 5

Checagem mínima: com 4 bits o intervalo seria [-8,7], que não contém nem 11 nem -11, então 4 bits são insuficientes — por isso 5 é de fato o mínimo para ambos os casos.

Resposta

11_{10}=01011_{2}
-11_{10}=10101_{2}

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