Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
13 bits?
Passo 1
O enunciado pede: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com 13 bits?”\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Número de bits: n = 13.
Representação: complemento de dois (isto é, sistema com um bit de sinal embutido).
Precisamos determinar o menor e o maior inteiro que podem ser representados com essa codificação, e entender por que esses limites ocorrem.
Passo 2
Conceito fundamental (aula rápida e direta): em uma codificação de n bits em complemento de dois, usamos o bit mais significativo (MSB) como parte da representação com peso negativo. Se chamarmos os bits de b_{n-1} b_{n-2}\dots b_1 b_0 (onde b_{n-1} é o MSB), o valor inteiro representado é
Explicando isso: o MSB tem peso -2^{\,n-1} porque, no complemento de dois, quando o MSB é 1 o número torna-se negativo e esse bit “subtrai” 2^{\,n-1}; os demais bits têm pesos positivos habituais 2^i.
Passo 3
Aplicando a fórmula para n = 13: o valor representado por b_{12} b_{11}\dots b_0 é
Como vimos acima, 2^{12} = 4096, logo o menor valor é -4096. Em binário (com 13 bits) esse mínimo é 1 seguido de doze 0: 1\underbrace{00\ldots0}_{12}.
Passo 6
Verificação por contagem (confirmação intuitiva): com 13 bits há 2^{13} = 8192 padrões distintos. No complemento de dois os valores vão de -2^{12} até 2^{12}-1. O número de negativos de -2^{12} até -1 é 2^{12} = 4096, e o número de não-negativos de 0 até 2^{12}-1 também é 4096. Soma total 4096+4096=8192, consistente.
Passo 7
Resumo didático e dica para prova: sempre que te pedirem o intervalo para complemento de dois com n bits, memorize a fórmula geral