Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com:
13 bits?

Passo 1

O enunciado pede: “Quais os intervalos de valores que podem ser representados em Complemento-2, com 13 bits?”\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Número de bits: n = 13.
  • Representação: complemento de dois (isto é, sistema com um bit de sinal embutido).
  • Precisamos determinar o menor e o maior inteiro que podem ser representados com essa codificação, e entender por que esses limites ocorrem.

Passo 2

Conceito fundamental (aula rápida e direta): em uma codificação de n bits em complemento de dois, usamos o bit mais significativo (MSB) como parte da representação com peso negativo. Se chamarmos os bits de b_{n-1} b_{n-2}\dots b_1 b_0 (onde b_{n-1} é o MSB), o valor inteiro representado é
-\;b_{n-1}\,2^{\,n-1} \;+\; \sum_{i=0}^{n-2} b_i\,2^{\,i}.
Explicando isso: o MSB tem peso -2^{\,n-1} porque, no complemento de dois, quando o MSB é 1 o número torna-se negativo e esse bit “subtrai” 2^{\,n-1}; os demais bits têm pesos positivos habituais 2^i.

Passo 3

Aplicando a fórmula para n = 13: o valor representado por b_{12} b_{11}\dots b_0 é
-\;b_{12}\,2^{12} \;+\; \sum_{i=0}^{11} b_i\,2^{i}.
Agora vamos achar os extremos (menor e maior valor) escolhendo os bits de forma a minimizar ou maximizar esse valor.

Passo 4

Maior valor possível: colocamos b_{12}=0 (MSB = 0 para não subtrair) e todos os outros bits iguais a 1 para somar o máximo:
  • Então o maior valor é
\sum_{i=0}^{11} 1\cdot 2^{i} = 2^{12}-1.
Calculemos 2^{12}:
2^{10}=1024,\quad 2^{11}=2048,\quad 2^{12}=4096,
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2^{12}-1 = 4096-1 = 4095.
Portanto o maior inteiro representável é 4095. Em binário (com 13 bits) esse máximo é 0 seguido de doze 1: 0\underbrace{11\ldots1}_{12}.

Passo 5

Menor valor possível: colocamos b_{12}=1 (MSB = 1 para subtrair) e todos os outros bits iguais a 0 para não somar nada:
  • Então o menor valor é
-\,1\cdot 2^{12} + \sum_{i=0}^{11} 0\cdot 2^{i} = -2^{12}.
Como vimos acima, 2^{12} = 4096, logo o menor valor é -4096. Em binário (com 13 bits) esse mínimo é 1 seguido de doze 0: 1\underbrace{00\ldots0}_{12}.

Passo 6

Verificação por contagem (confirmação intuitiva): com 13 bits há 2^{13} = 8192 padrões distintos. No complemento de dois os valores vão de -2^{12} até 2^{12}-1. O número de negativos de -2^{12} até -1 é 2^{12} = 4096, e o número de não-negativos de 0 até 2^{12}-1 também é 4096. Soma total 4096+4096=8192, consistente.

Passo 7

Resumo didático e dica para prova: sempre que te pedirem o intervalo para complemento de dois com n bits, memorize a fórmula geral
\text{intervalo} = \left[ -\,2^{\,n-1},\; 2^{\,n-1}-1 \right].
Para n=13 plugue n e faça a conta de potências de 2 como fizemos (calcular 2^{12} a partir de 2^{10}=1024 é uma estratégia rápida sem calculadora).

Resposta

[-4096,\,4095]

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