O problema: "Resolva
"pode ser transformado em um problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
, analise a convergência quando:
;
Passo 1
O enunciado pede que se analise a convergência do processo iterativo
quando
, sendo a equação original
(domínio
). Ou seja:
- identificar os pontos fixos de
(soluções de ); - decidir se a iteração converge para esse ponto fixo e sob quais condições (para que
converge); - caracterizar a taxa de convergência (se possível).
Informações relevantes dadas:
-
e iteração . - domínio natural da equação original:
. - relação entre as duas formas:
.
Passo 2
Encontrar o ponto fixo (solução exata em termos conhecidos).
Procuramos tal que
Procuramos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Essa equação tem a solução
onde
é a função de Lambert
. Numericamente,
(Para efeito prático na prova, pode-se obter esse valor por bisseção ou iteração numérica; usarei a aproximação
.)
Passo 3
Critério de convergência por ponto fixo (ideia e ferramenta).
Explicando devagarinho: uma forma prática de garantir que a iteração convirja para um ponto fixo é usar o teorema do ponto fixo de Banach (contracção). A versão útil diz:
Explicando devagarinho: uma forma prática de garantir que a iteração
Seja
um intervalo tal que
e exista
com
então
é uma contração em
e a iteração converge, para qualquer
, ao único ponto fixo em
. Além disso a convergência é linear com fator no máximo
.
O que cada coisa significa:
-
: aplicar em qualquer ponto de não sai de (autoimagem). -
é a derivada; garante que não “estica” muito — formalmente dá a constante de contração.
Passo 4
Calcular a derivada de
e interpretar.
Calculamos
Calculamos
Logo
Observações importantes:
- Para
tem-se , portanto localmente a derivada em valor absoluto é menor que . - Contudo, em um intervalo que se aproxime de
o supremo de tende a , então não podemos garantir uma constante em todo o intervalo . Precisamos achar um intervalo adequado onde exista um uniforme.
Passo 5
Mostrar que a iteração entra rapidamente num intervalo de contração (argumento para qualquer
).
Tomemos qualquer. Então
Tomemos
pois
para
. Agora, com
temos
porque o menor valor possível de
(quando
atinge seu máximo
) é
, e o maior (quando
tende a
) é
.
Logo, para qualquer
, a sequência satisfaz
. Defina o intervalo
Agora verifiquemos as duas condições para Banach em
:
- Autoimagem: para
tem-se . Aplicando ,
Numericamente
. Assim
.
2) Derivada limitada: para o máximo de
ocorre em
, logo
2) Derivada limitada: para
Portanto
é contração em
com constante
. Como
, a partir de
(e portanto a partir de qualquer
, depois de duas iterações) a sequência fica dentro de
e converge para o único ponto fixo em
.
Passo 6
Unicidade do ponto fixo e conclusão de convergência global (para
).
-
é contínua e estritamente decrescente (porque ), logo a equação só pode ter uma interseção em . Assim o ponto fixo encontrado é único. - Pelo argumento do passo anterior, qualquer
produz uma sequência que, a partir de , está num intervalo onde é contração; portanto a sequência converge para o ponto fixo único .
Assim: a iteração converge para a única solução positiva de
para qualquer
.
Passo 7
Taxa de convergência (linear) e constante assintótica.
- O fator de convergência assintótico é
. Calculando no ponto fixo:
Portanto a convergência é linear (ordem 1) com razão assintótica aproximadamente
. Isso significa que, para
grande,
- Antes de entrar no intervalo
a constante global útil (a partir de ) pode ser tomada como , o que dá uma garantia de redução do erro imediata:
Passo 8
Exemplo numérico curto (para ver o comportamento na prática).
Escolhendo :
Escolhendo
A sequência oscila e vai se aproximando de
, com redução do erro aproximadamente pelo fator indicado.
Resposta
A iteração
converge para a única solução positiva de
, que é
, para qualquer
. A convergência é linear, com razão assintótica
; a partir de
pode usar-se a constante de contração global
.