O problema: "Resolva f(x)=x+\ln x=0 "pode ser transformado em um problema equivalente da forma x=\varphi(x). Para o processo iterativo definido por x_{k+1}=\varphi\left(x_{k}\right), analise a convergência quando:
\varphi(x)=e^{-x};

Passo 1

O enunciado pede que se analise a convergência do processo iterativo
x_{k+1}=\varphi(x_k)
quando \varphi(x)=e^{-x}, sendo a equação original f(x)=x+\ln x=0 (domínio x>0). Ou seja:
  • identificar os pontos fixos de \varphi (soluções de x=\varphi(x));
  • decidir se a iteração converge para esse ponto fixo e sob quais condições (para que x_0 converge);
  • caracterizar a taxa de convergência (se possível).
Informações relevantes dadas:
  • \varphi(x)=e^{-x} e iteração x_{k+1}=e^{-x_k}.
  • domínio natural da equação original: x>0.
  • relação entre as duas formas: x+\ln x=0 \iff \ln x=-x \iff x=e^{-x}.

Passo 2

Encontrar o ponto fixo (solução exata em termos conhecidos).
Procuramos x tal que
x=e^{-x}.
Multiplicando ambos os lados por e^{x} obtemos
x e^{x}=1.
Essa equação tem a solução
x=\mathrm{W}(1),
onde \mathrm{W} é a função de Lambert W. Numericamente,
x^\ast \approx 0,5671432904.
(Para efeito prático na prova, pode-se obter esse valor por bisseção ou iteração numérica; usarei a aproximação \,x^\ast\approx0,567143.)

Passo 3

Critério de convergência por ponto fixo (ideia e ferramenta).
Explicando devagarinho: uma forma prática de garantir que a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) convirja para um ponto fixo é usar o teorema do ponto fixo de Banach (contracção). A versão útil diz:
Seja I=[a,b] um intervalo tal que \varphi(I)\subset I e exista L\in[0,1) com
\lvert \varphi'(x)\rvert \le L\quad\text{para todo }x\in I,
então \varphi é uma contração em I e a iteração converge, para qualquer x_0\in I, ao único ponto fixo em I. Além disso a convergência é linear com fator no máximo L.
O que cada coisa significa:
  • \varphi(I)\subset I: aplicar \varphi em qualquer ponto de I não sai de I (autoimagem).
  • \varphi'(x) é a derivada; \lvert\varphi'(x)\rvert\le L<1 garante que \varphi não “estica” muito — formalmente dá a constante de contração.

Passo 4

Calcular a derivada de \varphi e interpretar.
Calculamos
\varphi'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Logo
\lvert \varphi'(x)\rvert = e^{-x}.
Observações importantes:
  • Para x>0 tem-se 0<e^{-x}<1, portanto localmente a derivada em valor absoluto é menor que 1.
  • Contudo, em um intervalo que se aproxime de 0^+ o supremo de e^{-x} tende a 1, então não podemos garantir uma constante L<1 em todo o intervalo (0,1]. Precisamos achar um intervalo adequado onde exista um L<1 uniforme.

Passo 5

Mostrar que a iteração entra rapidamente num intervalo de contração (argumento para qualquer x_0>0).
Tomemos x_0>0 qualquer. Então
x_1=e^{-x_0}\in(0,1),
pois e^{-x_0}<1 para x_0>0. Agora, com x_1\in(0,1) temos
x_2=e^{-x_1}\in\big(e^{-1},1\big),
porque o menor valor possível de e^{-x_1} (quando x_1 atinge seu máximo 1) é e^{-1}, e o maior (quando x_1 tende a 0^+) é 1.
Logo, para qualquer x_0>0, a sequência satisfaz x_2\in\big(e^{-1},1\big). Defina o intervalo
I=\big[\,e^{-1},1\,\big]\approx[0,3679,1].
Agora verifiquemos as duas condições para Banach em I:
  1. Autoimagem: para x\in I tem-se e^{-1}\le x\le1. Aplicando \varphi,
\varphi(x)=e^{-x}\in\big[e^{-1},e^{-e^{-1}}\big].
Numericamente e^{-e^{-1}}\approx e^{-0,3679}\approx0,6922. Assim \varphi(I)\subset[\,e^{-1},e^{-e^{-1}}\,]\subset I.
2) Derivada limitada: para x\in I o máximo de \lvert\varphi'(x)\rvert=e^{-x} ocorre em x=e^{-1}, logo
L:=\max_{x\in I} e^{-x}=e^{-e^{-1}}\approx0,6922<1.
Portanto \varphi é contração em I com constante L\approx0,6922. Como x_2\in I, a partir de x_2 (e portanto a partir de qualquer x_0>0, depois de duas iterações) a sequência fica dentro de I e converge para o único ponto fixo em I.

Passo 6

Unicidade do ponto fixo e conclusão de convergência global (para x_0>0).
  • \varphi é contínua e estritamente decrescente (porque \varphi'(x)<0), logo a equação x=\varphi(x) só pode ter uma interseção em (0,\infty). Assim o ponto fixo encontrado é único.
  • Pelo argumento do passo anterior, qualquer x_0>0 produz uma sequência que, a partir de k=2, está num intervalo onde \varphi é contração; portanto a sequência converge para o ponto fixo único x^\ast\approx0,567143.
Assim: a iteração converge para a única solução positiva de x+\ln x=0 para qualquer x_0>0.

Passo 7

Taxa de convergência (linear) e constante assintótica.
  • O fator de convergência assintótico é \lvert\varphi'(x^\ast)\rvert. Calculando no ponto fixo:
\lvert\varphi'(x^\ast)\rvert = e^{-x^\ast}=x^\ast\approx0,567143.
Portanto a convergência é linear (ordem 1) com razão assintótica aproximadamente 0,5671. Isso significa que, para k grande,
\lvert x_{k+1}-x^\ast\rvert \approx 0,5671\;\lvert x_k-x^\ast\rvert.
  • Antes de entrar no intervalo I a constante global útil (a partir de k\ge2) pode ser tomada como L=e^{-e^{-1}}\approx0,6922, o que dá uma garantia de redução do erro imediata:
\lvert x_{k+1}-x^\ast\rvert \le L\,\lvert x_k-x^\ast\rvert\quad\text{para }k\ge2.

Passo 8

Exemplo numérico curto (para ver o comportamento na prática).
Escolhendo x_0=1:
x_1=e^{-1}\approx0,367879,\quad x_2=e^{-0,367879}\approx0,692201,
x_3=e^{-0,692201}\approx0,500467,\quad x_4\approx0,606214,\quad x_5\approx0,545239,\quad x_6\approx0,579700,\\ \dots
A sequência oscila e vai se aproximando de x^\ast\approx0,567143, com redução do erro aproximadamente pelo fator indicado.

Resposta

A iteração x_{k+1}=e^{-x_k} converge para a única solução positiva de x+\ln x=0, que é x^\ast\approx0,5671432904, para qualquer x_0>0. A convergência é linear, com razão assintótica \lvert\varphi'(x^\ast)\rvert=e^{-x^\ast}=x^\ast\approx0,567143; a partir de k\ge2 pode usar-se a constante de contração global L=e^{-e^{-1}}\approx0,6922.

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