Um corpo com massa inicial de 200 Kg está em movimento sob a ação de uma força constante de 2000 N. Sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 Kg de sua massa por segundo e considerando que a resistência do ar é o dobro de sua velocidade e que o corpo está em repouso no instante t=0, então a EDO que descreve a variação de sua velocidade é dada por
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=\frac{2000-2 v(t)}{200-t} ; \quad \forall t>0 \\\ v(0)=0 \end{array}\right.
Determine a velocidade do corpo \mathrm{v}(\mathrm{t}) no instante t=1 segundo com intervalos de 0.5 segundo, usando:
a. Método de Euler;
b. Método de Euler aperfeiçoado;
c. Método de Runge-Kutta de 4{ }^{\text {a }} ordem;
d. Sabendo-se que a solução exata da equação é v(t)=10 t-\frac{1}{40} t^{2}, compare com as soluções aproximadas obtidas com os métodos numéricos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se a velocidade do corpo nos instantes t=0{,}5 s e t=1{,}0 s, usando passos de h=0{,}5 s, por três métodos numéricos: (a) Euler explícito, (b) Euler aperfeiçoado (Heun), (c) Runge–Kutta de 4ª ordem; e (d) comparar com a solução exata dada.
  • A equação diferencial é
\left\{\begin{array}{l} v^{\prime}(t)=\dfrac{2000-2\,v(t)}{200-t},\quad t>0,\\[6pt] v(0)=0. \end{array}\right.
  • Defino a função do lado direito por
f(t,v)=\dfrac{2000-2v}{200-t}.
  • Passo de integração: h=0{,}5.
  • Pontos onde precisamos dos valores: t_0=0, t_1=0{,}5, t_2=1{,}0.
  • A solução exata fornecida é
v_{\text{ex}}(t)=10t-\dfrac{1}{40}t^{2}.
No próximo passo começo a explicar e aplicar cada método com contas detalhadas.]

Passo 2

Método de Euler (explicito) — teoria curta e fórmula:
  • Ideia: aproximar a solução por retas usando a inclinação v'(t) no início do intervalo.
  • Fórmula do passo:
v_{n+1}=v_n+h\,f(t_n,v_n).
Aqui v_n é a aproximação em t_n, h é o passo, e f é a função do lado direito da EDO.
Aplicação com h=0{,}5:
  1. Inicial: t_0=0, v_0=0.
    f(t_0,v_0)=f(0,0)=\dfrac{2000-2\cdot 0}{200-0}=\dfrac{2000}{200}=10.
    Então
    v_1=v_0+h f(t_0,v_0)=0+0{,}5\cdot 10=5.
    Resultado: v(0{,}5)\approx 5.
  2. Passo t_1\to t_2: t_1=0{,}5, v_1=5.
    Calculo f(t_1,v_1):
    f(0{,}5,5)=\dfrac{2000-2\cdot 5}{200-0{,}5}=\dfrac{1990}{199{,}5}.
    Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 2:
    \dfrac{1990}{199{,}5}=\dfrac{3980}{399}.
    Assim
    v_2=v_1+h f(t_1,v_1)=5+0{,}5\cdot\dfrac{3980}{399}=5+\dfrac{1990}{399}=\dfrac{3985}{399}\approx 9{,}987468672.
    Resultado: v(1{,}0) por Euler \approx 9{,}987468672.

Passo 3

Método de Euler aperfeiçoado (Heun) — teoria curta e fórmula:
  • Ideia: fazer um “predictor” pelo Euler simples e corrigir usando a média das inclinações no início e no fim do subintervalo (método trapezoidal explícito).
  • Fórmula:
\begin{aligned} \text{predictor: }& \tilde v_{n+1}=v_n+h f(t_n,v_n),\\[4pt] \text{corretor: }& v_{n+1}=v_n+\dfrac{h}{2}\bigl(f(t_n,v_n)+f(t_{n+1},\tilde v_{n+1})\bigr). \end{aligned}
Explico: f(t_n,v_n) é a inclinação no início do passo; f(t_{n+1},\tilde v_{n+1}) é a inclinação estimada no final usando o predictor; faz-se a média das duas.
Aplicação com h=0{,}5:
  1. Do passo t_0=0 para t_1=0{,}5:
    • f(0,0)=10 (já calculado).
    • Predictor: \tilde v_1=0+0{,}5\cdot 10=5.
    • Calcula f(t_1,\tilde v_1)=f(0{,}5,5)=\dfrac{3980}{399} (já calculado).
    • Corretor: v_1=0+\dfrac{0{,}5}{2}\Bigl(10+\dfrac{3980}{399}\Bigr) =0{,}25\cdot\dfrac{10\cdot 399+3980}{399} =0{,}25\cdot\dfrac{7970}{399} =\dfrac{7970}{1596}\approx 4{,}993734336.
    Resultado: v(0{,}5)\approx 4{,}993734336.
  2. Do passo t_1=0{,}5 para t_2=1{,}0:
    • Primeiro calcule f(t_1,v_1) com o v_1 corrigido: f(0{,}5,4{,}993734336)=\dfrac{2000-2\cdot 4{,}993734336}{199{,}5} =\dfrac{1990{,}012531328}{199{,}5}\approx 9{,}975000157.
    • Predictor: \tilde v_2=v_1+0{,}5\cdot f(0{,}5,v_1) \approx 4{,}993734336+0{,}5\cdot 9{,}975000157 \approx 9{,}9812344145.
    • Agora calcule f(t_2,\tilde v_2)=f(1,\tilde v_2): f(1,9{,}9812344145)=\dfrac{2000-2\cdot 9{,}9812344145}{199} =\dfrac{1980{,}037531171}{199}\approx 9{,}949937300.(Observe que f diminui quando v aumenta, pois há termo -2v.)
    • Corretor: v_2\approx v_1+\dfrac{0{,}5}{2}\bigl(9{,}975000157+9{,}949937300\bigr) =4{,}993734336+0{,}25\cdot 19{,}924937457 \approx 4{,}993734336+4{,}98123436425 \approx 9{,}97496870025.
    Resultado: v(1{,}0) por Euler aperfeiçoado \approx 9{,}97496870025.]

Passo 4

Método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) — teoria curta e fórmula:
  • Ideia: calcular quatro “inclinações” (k1, k2, k3, k4) e combinar com pesos para obter alta precisão em cada passo.
  • Fórmulas por passo t_n\to t_{n+1}=t_n+h:
\begin{aligned} k_1&=f(t_n,v_n),\\[4pt] k_2&=f\Bigl(t_n+\dfrac{h}{2},\,v_n+\dfrac{h}{2}k_1\Bigr),\\[4pt] k_3&=f\Bigl(t_n+\dfrac{h}{2},\,v_n+\dfrac{h}{2}k_2\Bigr),\\[4pt] k_4&=f(t_n+h,\,v_n+h k_3\Bigr),\\[6pt] v_{n+1}&=v_n+\dfrac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr). \end{aligned}
Explico: k_1 é a inclinação inicial, k_2 e k_3 são inclinações em pontos médios estimados, k_4 é a inclinação no final; a combinação dá precisão de ordem 4.
Aplicação com h=0{,}5 — passo a passo com contas:
Passo 0 → 0{,}5:
  • k_1=f(0,0)=10.
  • k_2=f\bigl(0{,}25,\;0+\tfrac{0{,}5}{2}\cdot 10\bigr)=f(0{,}25,2{,}5) =\dfrac{2000-2\cdot 2{,}5}{200-0{,}25}=\dfrac{1995}{199{,}75}=\dfrac{7980}{799}\approx 9{,}987484357.
  • k_3=f\bigl(0{,}25,\;0+\tfrac{0{,}5}{2}\cdot k_2\bigr) =f(0{,}25,0{,}25\cdot k_2)\approx f(0{,}25,2{,}496871089) \approx 9{,}987515688.
  • k_4=f\bigl(0{,}5,\;0+0{,}5\cdot k_3\bigr) \approx f(0{,}5,4{,}993757844)\approx 9{,}9749999214.
  • Combinação: v_1=0+\dfrac{0{,}5}{6}\bigl(10+2\cdot 9{,}987484357+2\cdot 9{,}987515688+9{,}9749999214\bigr) \approx 4{,}99375000078\approx 4{,}99375.Resultado: v(0{,}5)\approx 4{,}99375 (note: coincide com a solução exata até os dígitos mostrados).
Passo 0{,}5 → 1{,}0:
  • Use t_1=0{,}5, v_1\approx 4{,}99375.
  • k_1=f(0{,}5,4{,}99375)=\dfrac{2000-2\cdot 4{,}99375}{199{,}5}=\dfrac{1990{,}0125}{199{,}5}=9{,}975.
  • k_2=f\bigl(0{,}75,\;4{,}99375+\tfrac{0{,}5}{2}\cdot 9{,}975\bigr) =f(0{,}75,7{,}4875)\approx 9{,}962484312.
  • k_3=f\bigl(0{,}75,\;4{,}99375+\tfrac{0{,}5}{2}\cdot k_2\bigr) \approx f(0{,}75,7{,}484371078)\approx 9{,}962515315.
  • k_4=f\bigl(1{,}0,\;4{,}99375+0{,}5\cdot k_3\bigr) \approx f(1{,}0,9{,}9750076575)\approx 9{,}949999923.
  • Combinação: v_2\approx 4{,}99375+\dfrac{0{,}5}{6}\bigl(9{,}975+2\cdot 9{,}962484312+2\cdot 9{,}962515315+9{,}949999923\bigr) \approx 9{,}9749999314.Resultado: v(1{,}0) por RK4 \approx 9{,}9749999314.]

Passo 5

Solução exata e comparação de erros — teoria curta:
  • A solução exata dada é
v_{\text{ex}}(t)=10t-\dfrac{1}{40}t^{2}.
Calcule valores exatos em t=0{,}5 e t=1{,}0:
v_{\text{ex}}(0{,}5)=10\cdot 0{,}5-\dfrac{(0{,}5)^{2}}{40}=5-\dfrac{0{,}25}{40}=5-0{,}00625=4{,}99375,
v_{\text{ex}}(1{,}0)=10\cdot 1-\dfrac{1^{2}}{40}=10-0{,}025=9{,}975.
Erros (aprox.) relativos às aproximações obtidas:
  • Euler:
    • v_{E}(0{,}5)=5 → erro =5-4{,}99375=0{,}00625.
    • v_{E}(1{,}0)\approx 9{,}987468672 → erro \approx 9{,}987468672-9{,}975=0{,}012468672.
  • Euler aperfeiçoado (Heun):
    • v_{Heun}(0{,}5)\approx 4{,}993734336 → erro \approx -0{,}000015664 (ou magnitude 1{,}5664\times 10^{-5}).
    • v_{Heun}(1{,}0)\approx 9{,}97496870025 → erro \approx -0{,}00003129975 (magnitude 3{,}129975\times 10^{-5}).
  • RK4:
    • v_{RK4}(0{,}5)\approx 4{,}99375000078 → erro \approx 7{,}8\times 10^{-10} (praticamente zero).
    • v_{RK4}(1{,}0)\approx 9{,}9749999314 → erro \approx -6{,}86\times 10^{-8} (praticamente zero).
Observações rápidas e incentivo:
  • Euler é simples, mas pouco preciso com passos grandes.
  • Euler aperfeiçoado (Heun) corrige bem e já tem erro bem pequeno com h=0{,}5.
  • RK4 é muito preciso; com este h obtemos erro praticamente zero (na precisão usada).
  • Você está indo bem! Métodos numéricos são só receita+prática — faça alguns exercícios assim e pega o jeito rápido.

Resposta

(a) Euler: v(0{,}5)=5,\quad v(1{,}0)=\dfrac{3985}{399}\approx 9{,}987468672.
(b) Euler aperfeiçoado (Heun): v(0{,}5)\approx 4{,}993734336,\quad v(1{,}0)\approx 9{,}97496870025.
(c) Runge–Kutta 4ª ordem: v(0{,}5)\approx 4{,}99375000078\\ (\approx4{,}99375),\quad v(1{,}0)\approx 9{,}9749999314.
(d) Solução exata e comparação:
v_{\text{ex}}(0{,}5)=4{,}99375,\quad v_{\text{ex}}(1{,}0)=9{,}975.
Erros aproximados:
  • Euler: erro em 0{,}5 = 0{,}00625, erro em 1{,}0 \approx 0{,}012468672.
  • Heun: erro em 0{,}5 \approx -1{,}5664\times 10^{-5}, erro em 1{,}0 \approx -3{,}129975\times 10^{-5}.
  • RK4: erro em 0{,}5 \approx 7{,}8\times 10^{-10}, erro em 1{,}0 \approx -6{,}86\times 10^{-8}.

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