Um corpo com massa inicial de 200 Kg está em movimento sob a ação de uma força constante de 2000 N. Sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 Kg de sua massa por segundo e considerando que a resistência do ar é o dobro de sua velocidade e que o corpo está em repouso no instante t=0, então a EDO que descreve a variação de sua velocidade é dada por
Determine a velocidade do corpo \mathrm{v}(\mathrm{t}) no instante t=1 segundo com intervalos de 0.5 segundo, usando:
a. Método de Euler;
b. Método de Euler aperfeiçoado;
c. Método de Runge-Kutta de 4{ }^{\text {a }} ordem;
d. Sabendo-se que a solução exata da equação é v(t)=10 t-\frac{1}{40} t^{2}, compare com as soluções aproximadas obtidas com os métodos numéricos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
Pede-se a velocidade do corpo nos instantes t=0{,}5 s e t=1{,}0 s, usando passos de h=0{,}5 s, por três métodos numéricos: (a) Euler explícito, (b) Euler aperfeiçoado (Heun), (c) Runge–Kutta de 4ª ordem; e (d) comparar com a solução exata dada.
Resultado: v(1{,}0) por Euler \approx 9{,}987468672.
Passo 3
Método de Euler aperfeiçoado (Heun) — teoria curta e fórmula:
Ideia: fazer um “predictor” pelo Euler simples e corrigir usando a média das inclinações no início e no fim do subintervalo (método trapezoidal explícito).
Explico: f(t_n,v_n) é a inclinação no início do passo; f(t_{n+1},\tilde v_{n+1}) é a inclinação estimada no final usando o predictor; faz-se a média das duas.
Primeiro calcule f(t_1,v_1) com o v_1 corrigido:f(0{,}5,4{,}993734336)=\dfrac{2000-2\cdot 4{,}993734336}{199{,}5} =\dfrac{1990{,}012531328}{199{,}5}\approx 9{,}975000157.
Agora calcule f(t_2,\tilde v_2)=f(1,\tilde v_2):f(1,9{,}9812344145)=\dfrac{2000-2\cdot 9{,}9812344145}{199} =\dfrac{1980{,}037531171}{199}\approx 9{,}949937300.(Observe que f diminui quando v aumenta, pois há termo -2v.)
Explico: k_1 é a inclinação inicial, k_2 e k_3 são inclinações em pontos médios estimados, k_4 é a inclinação no final; a combinação dá precisão de ordem 4.
Aplicação com h=0{,}5 — passo a passo com contas:
Passo 0 → 0{,}5:
Combinação:v_1=0+\dfrac{0{,}5}{6}\bigl(10+2\cdot 9{,}987484357+2\cdot 9{,}987515688+9{,}9749999214\bigr) \approx 4{,}99375000078\approx 4{,}99375.Resultado: v(0{,}5)\approx 4{,}99375 (note: coincide com a solução exata até os dígitos mostrados).