Dado \mathrm{I}=\int_{-2}^{8}(\operatorname{sen} x+x) d x. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 5 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro \mathrm{E}_{\mathrm{TR}};
c. Calcular I empregando a regra 1 / 3 de Simpson repetida com 5 subintervalos;
d. Determinar uma estimativa para o erro Esr.
e. Comparar os resultados obtidos utilizando as duas regras de integração numérica.

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com a integral
I=\int_{-2}^{8}(\operatorname{sen} x + x)\,dx
e faça, passo a passo:
a. Calcular I usando a regra dos trapézios composta com 5 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro E_{\mathrm{TR}} (erro da regra dos trapézios composta);
c. Calcular I usando a regra 1/3 de Simpson repetida com 5 subintervalos;
d. Determinar uma estimativa para o erro E_{S} (erro de Simpson);
e. Comparar os resultados obtidos com as duas regras.
Informações dadas que vamos precisar:
  • O integrando é f(x)=\operatorname{sen} x + x.
  • O intervalo de integração é [-2,8].
  • O número de subintervalos pedido é n=5 (logo o passo h=(8-(-2))/5=2).
Observação útil aqui (vou usar depois): todas as fórmulas de erro e das regras numéricas exigem derivadas de f; eu vou calcular essas derivadas explicando o que cada símbolo significa quando usar as fórmulas.

Passo 2

Calculo exato da integral (para termos uma referência ao comparar aproximações). Isso também serve como aula rápida de cálculo de primitiva.
A primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x. A primitiva de x é x^2/2. Portanto uma primitiva de f é
F(x) = -\cos x + \frac{x^2}{2}.
A integral exata é
I = F(8)-F(-2) = \Big(-\cos 8 + \frac{8^2}{2}\Big) - \Big(-\cos(-2) + \frac{(-2)^2}{2}\Big).
Como \cos(-2)=\cos 2, simplificamos:
I = 30 + \cos 2 - \cos 8.
Agora uma aproximação numérica (para referência):
I \approx 30 + \cos 2 - \cos 8 \approx 29,7293531973.
(Isto é o “valor verdadeiro” que usaremos para avaliar erros das regras numéricas.)

Passo 3

Aplicando a regra dos trapézios composta com n=5.
Primeiro a fórmula e o que significa cada coisa:
  • Dividimos [a,b]=[-2,8] em n=5 subintervalos iguais de largura
h=\frac{b-a}{n}=\frac{8-(-2)}{5}=2.
  • Os nós são x_0=-2, x_1=0, x_2=2, x_3=4, x_4=6, x_5=8.
  • A regra dos trapézios composta é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big).
Isto significa: somar os valores nos extremos com peso 1 e os valores internos com peso 2, multiplicar por h/2.
Agora calculamos f(x)=\operatorname{sen} x + x em cada nó (valores numéricos aproximados, em radianos):
\begin{aligned} f(-2)&=\operatorname{sen}(-2)+(-2)\approx -0,9092974268 - 2 = -2,9092974268,\\\ f(0)&=\operatorname{sen} 0 + 0 = 0,\\\ f(2)&=\operatorname{sen} 2 + 2\approx 0,9092974268 + 2 = 2,9092974268,\\\ f(4)&=\operatorname{sen} 4 + 4\approx -0,7568024953 + 4 = 3,2431975047,\\\ f(6)&=\operatorname{sen} 6 + 6\approx -0,2794154982 + 6 = 5,7205845018,\\\ f(8)&=\operatorname{sen} 8 + 8\approx 0,9893582466 + 8 = 8,9893582466. \end{aligned}
Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta com h=2:
T_5=\frac{2}{2}\Big(f(-2)+2[f(0)+f(2)+f(4)+f(6)]+f(8)\Big).
Calculando a soma interna (apenas somas aritméticas):
\sum_{i=1}^{4} f(x_i)=0 + 2,9092974268 + 3,2431975047 + 5,7205845018 \approx 11,8730794333.
Então
T_5 = 1\cdot\Big(-2,9092974268 + 2\cdot 11,8730794333 + 8,9893582466\Big) \approx 29,8262196864.

Passo 4

Estimativa do erro para a regra dos trapézios composta.
A teoria nos dá a seguinte cota de erro (fórmula padrão): se f tem segunda derivada contínua em [a,b], então existe uma \xi no intervalo tal que o erro da regra composta satisfaz
E_{\mathrm{TR}} = \int_a^b f(x)\,dx - T_n = -\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi).
Como nós não sabemos \xi exatamente, usamos a cota em valor absoluto
|E_{\mathrm{TR}}| \le \frac{(b-a)}{12}\,h^{2}\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Explicando os símbolos:
  • h é a largura do subintervalo (aqui h=2);
  • b-a é o comprimento do intervalo (aqui 10);
  • f''(x) é a segunda derivada de f e \max|f''(x)| é o máximo absoluto dessa derivada no intervalo.
Para f(x)=\operatorname{sen} x + x temos
f'(x)=\cos x + 1,\qquad f''(x)=-\operatorname{sen} x.
Logo |f''(x)|=|\operatorname{sen} x|\le 1 e, no intervalo [-2,8], atingimos 1 (por exemplo em x=\pi/2\approx 1,5708). Logo
\max_{[-2,8]}|f''(x)| = 1.
Substituindo na cota:
|E_{\mathrm{TR}}| \le \frac{10}{12}\,h^2 = \frac{10}{12}\cdot 4 = \frac{40}{12}=\frac{10}{3}\approx 3,3333333333.
Isto é uma cota teórica (pode ser bem conservadora). Para referência, o erro real que encontramos comparando com o valor exato é
E_{\mathrm{TR}} = T_5 - I \approx 29,8262196864 - 29,7293531973 \approx 0,0968664892,
que é muito menor que a cota teórica.

Passo 5

Aplicando a regra 1/3 de Simpson com n=5 — cuidado e escolha do procedimento.
A regra composta de Simpson 1/3 exige que o número de subintervalos seja par (isto é, n par). Aqui o enunciado pede n=5 (ímpar), então não podemos aplicar diretamente a fórmula composta de Simpson em todo o intervalo com o mesmo h. Quando isso acontece existem estratégias padrão:
  • usar a regra 1/3 em parte do intervalo e a regra 3/8 de Simpson em outra parte, de modo a cobrir todos os subintervalos; ou
  • usar 1/3 em n-1 subintervalos (par) e outro método no restante (ex.: trapézio).
Vou usar a estratégia clássica e pouco trabalhosa: aplicar a regra 1/3 de Simpson nos primeiros 2 subintervalos (isto é, de x_0 a x_2) e aplicar a regra 3/8 de Simpson nos últimos 3 subintervalos (de x_2 a x_5). Dessa forma cobrimos exatamente 5 subintervalos e usamos fórmulas padrão. Explano as fórmulas a seguir.

Passo 6

Fórmulas de Simpson que vou usar e cálculo numérico.
  1. Regra 1/3 de Simpson em dois subintervalos (de x_0=-2 até x_2=2, com h=2):
S_{1/3}^{(0\to2)} = \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big).
Substituindo f(x_0),f(x_1),f(x_2) calculados antes:
S_{1/3}^{(0\to2)} = \frac{2}{3}\big(-2,9092974268 + 4\cdot 0 + 2,9092974268\big) = 0.
(Curiosidade: os dois termos extremos se cancelaram neste pedaço.)
  1. Regra 3/8 de Simpson para três subintervalos (de x_2=2 até x_5=8, com o mesmo h=2):
    A fórmula é
S_{3/8} = \frac{3h}{8}\big(f(x_2)+3f(x_3)+3f(x_4)+f(x_5)\big).
Usando os valores:
\begin{aligned} f(x_2)&\approx 2,9092974268,\\\ f(x_3)&\approx 3,2431975047,\\\ f(x_4)&\approx 5,7205845018,\\\ f(x_5)&\approx 8,9893582466. \end{aligned}
Somando:
f(x_2)+3f(x_3)+3f(x_4)+f(x_5)\approx 38,7900016929.
Multiplicando por \dfrac{3h}{8}=\dfrac{3\cdot 2}{8}=\dfrac{3}{4}=0{,}75:
S_{3/8}\approx 0{,}75\cdot 38,7900016929 \approx 29,0925012697.
Somando as duas partes (a parte 1/3 que deu zero e a parte 3/8):
I_{\text{Simpson (combinado)}} \approx 29,0925012697.

Passo 7

Estimativa do erro para Simpson (e erro real).
A cota teórica para o erro da regra composta de Simpson 1/3 (quando aplicável com passo h e n par) é
|E_S| \le \frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Aqui f(x)=\operatorname{sen} x + x tem derivadas:
f'(x)=\cos x + 1,\quad f''(x)=-\operatorname{sen} x,\quad f^{(3)}(x)=-\cos x,\quad f^{(4)}(x)=\operatorname{sen} x.
Logo |f^{(4)}(x)|=|\operatorname{sen} x|\le 1 e, no intervalo, o máximo é 1. Tomando h=2 e b-a=10,
|E_S| \le \frac{10}{180}\,2^{4} = \frac{10}{180}\cdot 16 = \frac{160}{180}=\frac{8}{9}\approx 0,8888888889.
Isto é a cota teórica (novamente conservadora).
Erro real (comparando com o valor exato que calculamos no Passo 2):
E_S = I_{\text{Simpson}} - I \approx 29,0925012697 - 29,7293531973 \approx -0,6368519276,
ou seja erro absoluto \approx 0,6368519276, que satisfaz a cota teórica 0,8888888889.

Passo 8

Comparação dos resultados e interpretação (com incentivo e dica prática).
  • Resultado do trapézio composto com n=5: T_5 \approx 29,8262196864. Erro real |E_{\mathrm{TR}}|\approx 0,0968664892. A cota teórica deu |E_{\mathrm{TR}}|\le 3,3333333333, bem conservadora.
  • Resultado com Simpson (estratégia combinada 1/3 nos primeiros 2 subintervalos e 3/8 nos últimos 3): I_{\text{Simpson}}\approx 29,0925012697. Erro real |E_S|\approx 0,6368519276. A cota teórica deu |E_S|\le 0,8888888889.
Interpretação amigável: aqui, para este exemplo específico, a aproximação pelo trapézio composta com n=5 ficou mais próxima do valor exato do que a combinação de Simpson aplicada (erro absoluto do trapézio \approx 0,097 vs erro absoluto de Simpson \approx 0,637). Isso pode parecer surpreendente porque frequentemente Simpson é mais preciso; a razão é que a qualidade das aproximações depende da forma da função e de como nós particionamos o intervalo — e também de que tivemos que usar uma combinação de fórmulas para cobrir 5 subintervalos (Simpson 1/3 puro exigiria n par). Em provas, se pedirem Simpson com número ímpar de subintervalos, explique a incongruência e diga qual combinação você adotou (como eu fiz), justificando a escolha.
Você está indo bem — escolher a estratégia certa quando o número de subintervalos não bate com a regra é parte do jogo. No exame, escreva claramente qual fórmula usou e mostre os valores em cada nó; isso já ganha muitos pontos.

Resposta

(a) I_{\text{TR}} \approx 29,8262196864
(b) Estimativa teórica |E_{\mathrm{TR}}| \le \dfrac{10}{3} \approx 3,3333333333; erro real E_{\mathrm{TR}}\approx 0,0968664892
(c) I_{\text{Simpson (combinado)}} \approx 29,0925012697 (usei Simpson 1/3 em [-2,2] e Simpson 3/8 em [2,8] para cobrir os 5 subintervalos)
(d) Estimativa teórica |E_{S}| \le \dfrac{8}{9} \approx 0,8888888889; erro real E_{S}\approx -0,6368519276 (erro absoluto \approx 0,6368519276)
(e) Comparação: com n=5 a regra dos trapézios composta deu aproximação mais próxima do valor exato (erro \approx 0,097) do que a combinação Simpson usada (erro \approx 0,637); as cotas teóricas mostram que as estimativas de erro são conservadoras.

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