Dado
. Pede-se:
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 5 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro
;
c. Calcular I empregando a regra
de Simpson repetida com 5 subintervalos;
d. Determinar uma estimativa para o erro Esr.
e. Comparar os resultados obtidos utilizando as duas regras de integração numérica.
a. Calcular I empregando a regra dos trapézios repetida com 5 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro
c. Calcular I empregando a regra
d. Determinar uma estimativa para o erro Esr.
e. Comparar os resultados obtidos utilizando as duas regras de integração numérica.
Passo 1
O enunciado pede que a gente trabalhe com a integral
e faça, passo a passo:
a. Calcular usando a regra dos trapézios composta com 5 subintervalos;
b. Determinar uma estimativa para o erro (erro da regra dos trapézios composta);
c. Calcular usando a regra
de Simpson repetida com 5 subintervalos;
d. Determinar uma estimativa para o erro (erro de Simpson);
e. Comparar os resultados obtidos com as duas regras.
a. Calcular
b. Determinar uma estimativa para o erro
c. Calcular
d. Determinar uma estimativa para o erro
e. Comparar os resultados obtidos com as duas regras.
Informações dadas que vamos precisar:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - O número de subintervalos pedido é
(logo o passo ).
Observação útil aqui (vou usar depois): todas as fórmulas de erro e das regras numéricas exigem derivadas de
; eu vou calcular essas derivadas explicando o que cada símbolo significa quando usar as fórmulas.
Passo 2
Calculo exato da integral (para termos uma referência ao comparar aproximações). Isso também serve como aula rápida de cálculo de primitiva.
A primitiva de é
. A primitiva de
é
. Portanto uma primitiva de
é
A primitiva de
A integral exata é
Como
, simplificamos:
Agora uma aproximação numérica (para referência):
(Isto é o “valor verdadeiro” que usaremos para avaliar erros das regras numéricas.)
Passo 3
Aplicando a regra dos trapézios composta com
.
Primeiro a fórmula e o que significa cada coisa:
- Dividimos
em subintervalos iguais de largura
- Os nós são
. - A regra dos trapézios composta é
Isto significa: somar os valores nos extremos com peso 1 e os valores internos com peso 2, multiplicar por
.
Agora calculamos
em cada nó (valores numéricos aproximados, em radianos):
Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta com
:
Calculando a soma interna (apenas somas aritméticas):
Então
Passo 4
Estimativa do erro para a regra dos trapézios composta.
A teoria nos dá a seguinte cota de erro (fórmula padrão): se
tem segunda derivada contínua em
, então existe uma
no intervalo tal que o erro da regra composta satisfaz
Como nós não sabemos
exatamente, usamos a cota em valor absoluto
Explicando os símbolos:
-
é a largura do subintervalo (aqui ); -
é o comprimento do intervalo (aqui ); -
é a segunda derivada de e é o máximo absoluto dessa derivada no intervalo.
Para
temos
Logo
e, no intervalo
, atingimos 1 (por exemplo em
). Logo
Substituindo na cota:
Isto é uma cota teórica (pode ser bem conservadora). Para referência, o erro real que encontramos comparando com o valor exato é
que é muito menor que a cota teórica.
Passo 5
Aplicando a regra
de Simpson com
— cuidado e escolha do procedimento.
A regra composta de Simpson
exige que o número de subintervalos seja par (isto é,
par). Aqui o enunciado pede
(ímpar), então não podemos aplicar diretamente a fórmula composta de Simpson em todo o intervalo com o mesmo
. Quando isso acontece existem estratégias padrão:
- usar a regra
em parte do intervalo e a regra de Simpson em outra parte, de modo a cobrir todos os subintervalos; ou - usar
em subintervalos (par) e outro método no restante (ex.: trapézio).
Vou usar a estratégia clássica e pouco trabalhosa: aplicar a regra
de Simpson nos primeiros 2 subintervalos (isto é, de
a
) e aplicar a regra
de Simpson nos últimos 3 subintervalos (de
a
). Dessa forma cobrimos exatamente
subintervalos e usamos fórmulas padrão. Explano as fórmulas a seguir.
Passo 6
Fórmulas de Simpson que vou usar e cálculo numérico.
- Regra
de Simpson em dois subintervalos (de até , com ):
Substituindo
calculados antes:
(Curiosidade: os dois termos extremos se cancelaram neste pedaço.)
- Regra
de Simpson para três subintervalos (de até , com o mesmo ):
A fórmula é
Usando os valores:
Somando:
Multiplicando por
:
Somando as duas partes (a parte
que deu zero e a parte
):
Passo 7
Estimativa do erro para Simpson (e erro real).
A cota teórica para o erro da regra composta de Simpson
(quando aplicável com passo
e
par) é
Aqui
tem derivadas:
Logo
e, no intervalo, o máximo é
. Tomando
e
,
Isto é a cota teórica (novamente conservadora).
Erro real (comparando com o valor exato que calculamos no Passo 2):
ou seja erro absoluto
, que satisfaz a cota teórica
.
Passo 8
Comparação dos resultados e interpretação (com incentivo e dica prática).
- Resultado do trapézio composto com
: . Erro real . A cota teórica deu , bem conservadora. - Resultado com Simpson (estratégia combinada
nos primeiros 2 subintervalos e nos últimos 3): . Erro real . A cota teórica deu .
Interpretação amigável: aqui, para este exemplo específico, a aproximação pelo trapézio composta com
ficou mais próxima do valor exato do que a combinação de Simpson aplicada (erro absoluto do trapézio
vs erro absoluto de Simpson
). Isso pode parecer surpreendente porque frequentemente Simpson é mais preciso; a razão é que a qualidade das aproximações depende da forma da função e de como nós particionamos o intervalo — e também de que tivemos que usar uma combinação de fórmulas para cobrir
subintervalos (Simpson
puro exigiria
par). Em provas, se pedirem Simpson com número ímpar de subintervalos, explique a incongruência e diga qual combinação você adotou (como eu fiz), justificando a escolha.
Você está indo bem — escolher a estratégia certa quando o número de subintervalos não bate com a regra é parte do jogo. No exame, escreva claramente qual fórmula usou e mostre os valores em cada nó; isso já ganha muitos pontos.
Resposta
(a)
(b) Estimativa teórica ; erro real
(c) (usei Simpson
em
e Simpson
em
para cobrir os 5 subintervalos)
(d) Estimativa teórica ; erro real
(erro absoluto
)
(e) Comparação: com a regra dos trapézios composta deu aproximação mais próxima do valor exato (erro
) do que a combinação Simpson usada (erro
); as cotas teóricas mostram que as estimativas de erro são conservadoras.
(b) Estimativa teórica
(c)
(d) Estimativa teórica
(e) Comparação: com