Seja a integral: \int_{0}^{0.6}\left(\frac{1}{1+x}\right) d x.
a. Calcule seu valor aproximado pela regra 1 / 3 de Simpson repetida usando 4 subintervalos;
b. Determine uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter se quisermos uma precisão melhor que 10^{-6} ?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a integral
\int_{0}^{0{,}6}\left(\frac{1}{1+x}\right)\,dx.
Perguntas:
Calcular o valor aproximado usando a regra 1/3 de Simpson repetida (composta) com 4 subintervalos.
Determinar uma estimativa para o erro (ou seja, um limite superior para o erro) dessa aproximação.
Determinar quantos subintervalos são necessários para garantir precisão melhor que 10^{-6}.
Informações dadas:
Intervalo de integração: [a,b]=[0,0{,}6].
Função integrando: f(x)=\dfrac{1}{1+x}.
Para (a) usar Simpson composto com n=4 subintervalos (note que n deve ser par).
Para (b) e (c) usaremos a fórmula de estimativa do erro para Simpson composta, que envolve a derivada quarta de f.
Passo 2
Explicando a regra de Simpson composta (aula rápida e prática):
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de igual comprimento h=\dfrac{b-a}{n}. Aqui n deve ser par.
Os termos com coeficiente 4 correspondem aos pontos ímpares (são multiplicados por 4).
Os termos com coeficiente 2 correspondem aos pontos pares (exceto os extremos).
Raciocínio curto: Simpson aproxima a função por parábolas em pares de subintervalos; ao juntar vários pares (composto) obtém-se essa soma com pesos 1,4,2,…,4,1.
Portanto a aproximação por Simpson com 4 subintervalos é aproximadamente \,0{,}4700171549\,.
Passo 5
Comparando com o valor exato (útil para ver o erro real):
A primitiva de f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \ln(1+x). Logo a integral exata é\int_{0}^{0{,}6}\frac{1}{1+x}\,dx=\ln(1{,}6)-\ln(1)=\ln(1{,}6).
Valor numérico:\ln(1{,}6)\approx 0{,}4700036292.
Erro real da aproximação de Simpson (diferença absoluta):|E_{\text{real}}|=\big|S_4-\ln(1{,}6)\big|\approx |0{,}4700171549-0{,}4700036292|\approx 1{,}35457\times 10^{-5}.
Isso é só para você ter uma noção de quão bom foi o método; a pergunta (b) pede uma estimativa (limite) do erro, que vem a seguir.
Passo 6
Fórmula de estimação do erro para Simpson composta (aula curta sobre o porquê e como usar):
Para Simpson composta com passo h em [a,b], existe uma constante M tal que|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M,onde M=\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
Aqui precisamos calcular f^{(4)}(x) para f(x)=(1+x)^{-1}.
Usando a regra da potência e derivadas repetidas:f(x)=(1+x)^{-1},
f'(x)=-1\cdot(1+x)^{-2},
f''(x)=(-1)(-2)(1+x)^{-3}=2(1+x)^{-3},
f^{(3)}(x)=2(-3)(1+x)^{-4}=-6(1+x)^{-4},
f^{(4)}(x)=-6(-4)(1+x)^{-5}=24(1+x)^{-5}.
Então |f^{(4)}(x)|=24(1+x)^{-5}.
Em [0,0{,}6] o denominador 1+x é mínimo em x=0, logo o máximo de |f^{(4)}(x)| ocorre em x=0:M=\max_{[0,0{,}6]}|f^{(4)}(x)|=24(1+0)^{-5}=24.
Agora aplicamos a fórmula do erro com h=0{,}15 e b-a=0{,}6:|E_S|\le \frac{0{,}6}{180}\,(0{,}15)^{4}\cdot 24.Calculando passo a passo:(0{,}15)^{2}=0{,}0225,\quad (0{,}15)^{4}=(0{,}0225)^{2}=0{,}00050625,