Seja a integral: \int_{0}^{0.6}\left(\frac{1}{1+x}\right) d x.
a. Calcule seu valor aproximado pela regra 1 / 3 de Simpson repetida usando 4 subintervalos;
b. Determine uma estimativa para o erro;
c. Quantos subintervalos devemos ter se quisermos uma precisão melhor que 10^{-6} ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a integral
\int_{0}^{0{,}6}\left(\frac{1}{1+x}\right)\,dx.
Perguntas:
  1. Calcular o valor aproximado usando a regra 1/3 de Simpson repetida (composta) com 4 subintervalos.
  2. Determinar uma estimativa para o erro (ou seja, um limite superior para o erro) dessa aproximação.
  3. Determinar quantos subintervalos são necessários para garantir precisão melhor que 10^{-6}.
Informações dadas:
  • Intervalo de integração: [a,b]=[0,0{,}6].
  • Função integrando: f(x)=\dfrac{1}{1+x}.
  • Para (a) usar Simpson composto com n=4 subintervalos (note que n deve ser par).
  • Para (b) e (c) usaremos a fórmula de estimativa do erro para Simpson composta, que envolve a derivada quarta de f.

Passo 2

Explicando a regra de Simpson composta (aula rápida e prática):
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de igual comprimento h=\dfrac{b-a}{n}. Aqui n deve ser par.
  • Os pontos são x_0=a,x_1=a+h,\dots,x_n=b.
  • A fórmula da regra de Simpson composta é
S_n=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f(x_k)+f(x_n)\Big).í
O significado de cada termo:
  • h/3 é o fator fora da soma.
  • Os termos com coeficiente 4 correspondem aos pontos ímpares (são multiplicados por 4).
  • Os termos com coeficiente 2 correspondem aos pontos pares (exceto os extremos).
    Raciocínio curto: Simpson aproxima a função por parábolas em pares de subintervalos; ao juntar vários pares (composto) obtém-se essa soma com pesos 1,4,2,…,4,1.

Passo 3

Preparando os dados para aplicar Simpson com n=4:
  • Comprimento do intervalo: b-a=0{,}6.
  • h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0{,}6}{4}=0{,}15.
  • Nós: x_0=0, x_1=0{,}15, x_2=0{,}30, x_3=0{,}45, x_4=0{,}60.
  • Avaliamos f(x)=\dfrac{1}{1+x} em cada nó: f(x_0)=f(0)=\frac{1}{1+0}=1,
f(x_1)=f(0{,}15)=\frac{1}{1{,}15}\approx 0{,}8695652174,
f(x_2)=f(0{,}30)=\frac{1}{1{,}30}\approx 0{,}7692307692,
f(x_3)=f(0{,}45)=\frac{1}{1{,}45}\approx 0{,}6896551724,
f(x_4)=f(0{,}60)=\frac{1}{1{,}60}=0{,}625.
(Expliquei os números decimais para você conseguir repetir na prova sem calculadora: basta dividir 1 por 1+x nos pontos dados.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de Simpson composta:
  • Primeiro formamos as somas com os pesos: f(x_0)+f(x_4)=1+0{,}625=1{,}625,
4\big(f(x_1)+f(x_3)\big)=4\big(0{,}8695652174+0{,}6896551724\big)=4\cdot 1{,}5592203898\approx 6{,}2368815592,
2\big(f(x_2)\big)=2\cdot 0{,}7692307692\approx 1{,}5384615384.
  • Soma total dentro dos colchetes: \text{Soma}=1{,}625+6{,}2368815592+1{,}5384615384\approx 9{,}4003430976.
  • Multiplicamos por h/3: \frac{h}{3}=\frac{0{,}15}{3}=0{,}05.
S_4=0{,}05\times 9{,}4003430976\approx 0{,}4700171549.
Portanto a aproximação por Simpson com 4 subintervalos é aproximadamente \,0{,}4700171549\,.

Passo 5

Comparando com o valor exato (útil para ver o erro real):
  • A primitiva de f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \ln(1+x). Logo a integral exata é \int_{0}^{0{,}6}\frac{1}{1+x}\,dx=\ln(1{,}6)-\ln(1)=\ln(1{,}6).
  • Valor numérico: \ln(1{,}6)\approx 0{,}4700036292.
  • Erro real da aproximação de Simpson (diferença absoluta): |E_{\text{real}}|=\big|S_4-\ln(1{,}6)\big|\approx |0{,}4700171549-0{,}4700036292|\approx 1{,}35457\times 10^{-5}.
Isso é só para você ter uma noção de quão bom foi o método; a pergunta (b) pede uma estimativa (limite) do erro, que vem a seguir.

Passo 6

Fórmula de estimação do erro para Simpson composta (aula curta sobre o porquê e como usar):
  • Para Simpson composta com passo h em [a,b], existe uma constante M tal que |E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M,onde M=\max_{x\in[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
  • Aqui precisamos calcular f^{(4)}(x) para f(x)=(1+x)^{-1}.
    Usando a regra da potência e derivadas repetidas: f(x)=(1+x)^{-1},
f'(x)=-1\cdot(1+x)^{-2},
f''(x)=(-1)(-2)(1+x)^{-3}=2(1+x)^{-3},
f^{(3)}(x)=2(-3)(1+x)^{-4}=-6(1+x)^{-4},
f^{(4)}(x)=-6(-4)(1+x)^{-5}=24(1+x)^{-5}.
Então |f^{(4)}(x)|=24(1+x)^{-5}.
  • Em [0,0{,}6] o denominador 1+x é mínimo em x=0, logo o máximo de |f^{(4)}(x)| ocorre em x=0: M=\max_{[0,0{,}6]}|f^{(4)}(x)|=24(1+0)^{-5}=24.
  • Agora aplicamos a fórmula do erro com h=0{,}15 e b-a=0{,}6: |E_S|\le \frac{0{,}6}{180}\,(0{,}15)^{4}\cdot 24.Calculando passo a passo: (0{,}15)^{2}=0{,}0225,\quad (0{,}15)^{4}=(0{,}0225)^{2}=0{,}00050625,
\frac{0{,}6}{180}=0{,}0033333333\ldots=\frac{1}{300},
\frac{0{,}6}{180}\,(0{,}15)^{4}\cdot 24=\frac{1}{300}\cdot 0{,}00050625\cdot 24 =\frac{0{,}00050625\cdot 24}{300}.
0{,}00050625\cdot 24=0{,}01215,\quad \frac{0{,}01215}{300}=0{,}0000405.
Logo a estimativa (limite superior) do erro é
|E_S|\le 0{,}0000405=4{,}05\times 10^{-5}.
Note que o erro real 1{,}35\times 10^{-5} está abaixo desse limite, como deve ocorrer.

Passo 7

Quantos subintervalos n são necessários para que o erro seja menor que 10^{-6}?
  • Usamos a mesma fórmula do erro e queremos \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,M \le 10^{-6}.
  • Substituímos h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0{,}6}{n}, b-a=0{,}6 e M=24: \frac{0{,}6}{180}\left(\frac{0{,}6}{n}\right)^{4}\cdot 24 \le 10^{-6}.
  • Simplificamos numericamente: \frac{0{,}6}{180}\cdot 0{,}6^{4}\cdot 24\cdot \frac{1}{n^{4}} \le 10^{-6}.Calculando os fatores constantes: 0{,}6^{4}=0{,}1296,
\frac{0{,}6}{180}= \frac{1}{300}=0{,}0033333333\ldots,
\frac{0{,}6}{180}\cdot 0{,}6^{4}\cdot 24 = \frac{1}{300}\cdot 0{,}1296\cdot 24.
0{,}1296\cdot 24=3{,}1104,\quad \frac{3{,}1104}{300}=0{,}010368.
Assim a condição vira
\frac{0{,}010368}{n^{4}}\le 10^{-6}\quad\Rightarrow\quad n^{4}\ge \frac{0{,}010368}{10^{-6}}=10368.
  • Calculamos a raiz quarta de 10368. Uma fatoração prática: 10368=1296\cdot 8=6^{4}\cdot 8,então n\ge 6\cdot 8^{1/4}=6\cdot 2^{3/4}\approx 6\cdot 1{,}68179\approx 10{,}0907.
  • Como n deve ser inteiro e ainda precisa ser par (condição da regra de Simpson), escolhemos o menor inteiro par maior que 10{,}0907, que é n=12.
  • Conclusão: precisamos de n=12 subintervalos para garantir erro menor que 10^{-6} pelo critério do limite superior.

Resposta

(a) 0{,}4700171549\n(b) |E_S|\le 0{,}0000405 (ou 4{,}05\times 10^{-5})\n(c) n=12

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