As correntes i1, i2, i3, i4, i5 e i6 no circuito mostrado podem ser determinadas a partir da solução do seguinte sistema de equações (obtido com a aplicação da lei de Kirchhoff):
l 8 i1-4 i2-i4=20, -4 i1+11,5 i2-2,5 i3-5 i5=-12 -2,5 i2+4,5 i3-2 i6=14, -i1+3 i4-2 i5=8 -5 i2-2 i4+8,5 i5-1,5 i6=-30, -2 i3-1,5 i5+8 i6=0
Resolva o sistema usando os métodos de:
Gauss-Jacobi (precisão de 0,05 )

Passo 1

Beleza, a questão dá um sistema de 6 equações lineares em 6 incógnitas
8 i1-4 i2-i4=20, -4 i1+11,5 i2-2,5 i3-5 i5=-12, -2,5 i2+4,5 i3-2 i6=14, -i1+3 i4-2 i5=8, -5 i2-2 i4+8,5 i5-1,5 i6=-30, -2 i3-1,5 i5+8 i6=0
O conteúdo aqui é “Métodos Iterativos para Sistemas Lineares” – em especial o Gauss-Jacobi. Vamos precisar:
  1. Isolar cada numa fórmula do tipo .
  2. Escolher um chute inicial (por exemplo, zero em tudo).
  3. Iterar até que a diferença entre duas iterações seja menor que a precisão exigida ( ).

Passo 2

Primeiro, escrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente no lado esquerdo:
i1 &= 20 + 4,i2 + i48, i2 &= -12 + 4,i1 + 2,5,i3 +5,i511,5, i3 &= 14 +2,5,i2 +2,i64,5, i4 &= 8 + i1 +2,i53, i5 &= -30 +5,i2 +2,i4 +1,5,i68,5, i6 &= 2,i3 +1,5,i58
Isso é o coração do método de Gauss-Jacobi: em cada iteração calculamos cada usando só os valores da iteração anterior .

Passo 3

Chute inicial:
(i1^(0),i2^(0),i3^(0),i4^(0),i5^(0),i6^(0))=(0,0,0,0,0,0)
Critério de parada:
.

Passo 4

Vamos mostrar algumas iterações rápidas (arredondando no meio para não ficar gigante) e depois pulo direto pra iteração em que já chegamos na precisão:
k=1 (usando tudo zero)
(i1,i2,i3,i4,i5,i6)^(1) approx(2,50,,-1,04,,3,11,,2,67,,-3,53,,0)
k=2
approx(2,31,,-1,03,,2,53,,1,15,,-3,52,,0,12)
k=3
approx(2,13,,-1,22,,2,59,,1,03,,-3,85,,-0,03)
… e por aí vai. Depois de algumas iterações (no nosso caso, a 15ª) todas as diferenças sucessivas ficaram abaixo de (i1,i2,i3,i4,i5,i6) approx(1,29,,-2,41,,1,56,,-0,25,,-5,06,,-0,54) . As aproximações finais são:
k=15

Resposta

Usando Gauss‐Jacobi até erro menor que i1approx1,29, i2approx-2,41, i3approx1,56, i4approx-0,25, i5approx-5,06, i6approx-0,54 , obtemos aproximadamente

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