Um homem possui
composto apenas por moedas de 10 e 25 centavos. Quais são o maior e o menor número de moedas que ele pode ter? É possível o número de moedas de 10 centavos ser igual ao número de moedas de 25 centavos?
Passo 1
Beleza, o que o enunciado tá pedindo?
Temos R$ 4,55 (ou 455 centavos) em moedas de 10 c e 25 c. Queremos:
Temos R$ 4,55 (ou 455 centavos) em moedas de 10 c e 25 c. Queremos:
- O maior e o menor número total de moedas que dá pra ter;
- Saber se dá ter a mesma quantidade de moedas de 10 c e de 25 c.
Conteúdo: é uma equação Diofantina (inteiros) do tipo
. Vamos precisar de noções de combinação linear, divisão exata e um pouquinho de congruência (modulo) pra achar todas as soluções inteiras.
Passo 2
Primeiro, formulando a equação:
x = número de moedas de 10 c
y = número de moedas de 25 c
Então
x = número de moedas de 10 c
y = número de moedas de 25 c
Então
Podemos simplificar dividindo tudo por 5 (porque 10, 25 e 455 são divisíveis por 5):
Isso é uma equação linear em
. Queremos soluções inteiras não negativas.
Para achar o formato geral, isolamos
:
Pra
ser inteiro, o numerador
precisa ser par. Como
é ímpar,
também deve ser ímpar, logo
tem que ser ímpar.
Vamos escrever
(qualquer número ímpar), com
. Substituindo:
Então a família de soluções é
E ainda precisamos de
e
.
Passo 3
Verificando as condições de não negatividade:
-
, ou seja . -
será ≥ 1, então ok.
Para cada
de 0 a 8, temos um par
. O total de moedas é
.
- Com
: . - Com
: .
Logo o máximo de moedas é 44 (quando
, ou seja
,
) e o mínimo é 20 (quando
, ou seja
,
).
Passo 4
Agora, será que dá
?
Basta impor na equação original:
Basta impor
Então
é solução inteira e não negativa.
Resposta
Maior número de moedas: 44 (43 de 10 c e 1 de 25 c).
Menor número de moedas: 20 (3 de 10 c e 17 de 25 c).
E sim, dá para ter o mesmo número de moedas de 10 c e 25 c: 13 de cada.
Menor número de moedas: 20 (3 de 10 c e 17 de 25 c).
E sim, dá para ter o mesmo número de moedas de 10 c e 25 c: 13 de cada.