Um homem possui composto apenas por moedas de 10 e 25 centavos. Quais são o maior e o menor número de moedas que ele pode ter? É possível o número de moedas de 10 centavos ser igual ao número de moedas de 25 centavos?

Passo 1

Beleza, o que o enunciado tá pedindo?
Temos R$ 4,55 (ou 455 centavos) em moedas de 10 c e 25 c. Queremos:
  1. O maior e o menor número total de moedas que dá pra ter;
  2. Saber se dá ter a mesma quantidade de moedas de 10 c e de 25 c.
Conteúdo: é uma equação Diofantina (inteiros) do tipo . Vamos precisar de noções de combinação linear, divisão exata e um pouquinho de congruência (modulo) pra achar todas as soluções inteiras.

Passo 2

Primeiro, formulando a equação:
x = número de moedas de 10 c
y = número de moedas de 25 c
Então
10x + 25y = 455
Podemos simplificar dividindo tudo por 5 (porque 10, 25 e 455 são divisíveis por 5):
2x + 5y = 91
Isso é uma equação linear em 2x = 91 - 5y Longrightarrow x = 91 - 5y2 . Queremos soluções inteiras não negativas.
Para achar o formato geral, isolamos x = 91 - 5(2k+1)2 = 91 - 10k - 52 = 86 - 10k2 = 43 - 5k :
y = 2k + 1, x = 43 - 5k, k = 0,1,2,dots
Pra ser inteiro, o numerador precisa ser par. Como é ímpar, também deve ser ímpar, logo tem que ser ímpar.
Vamos escrever (qualquer número ímpar), com . Substituindo:
Então a família de soluções é
E ainda precisamos de e .

Passo 3

Verificando as condições de não negatividade:
  • , ou seja .
  • será ≥ 1, então ok.
Para cada de 0 a 8, temos um par . O total de moedas é .
  • Com : .
  • Com : .
Logo o máximo de moedas é 44 (quando , ou seja , ) e o mínimo é 20 (quando , ou seja , ).

Passo 4

Agora, será que dá 10x + 25x = 35x = 455 Longrightarrow x = 45535 = 13 ?
Basta impor na equação original:
Então é solução inteira e não negativa.

Resposta

Maior número de moedas: 44 (43 de 10 c e 1 de 25 c).
Menor número de moedas: 20 (3 de 10 c e 17 de 25 c).
E sim, dá para ter o mesmo número de moedas de 10 c e 25 c: 13 de cada.

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