As correntes i1, i2, i3, i4, i5 e i6 no circuito mostrado podem ser determinadas a partir da solução do seguinte sistema de equações (obtido com a aplicação da lei de Kirchhoff):
l 8 i1-4 i2-i4=20, -4 i1+11,5 i2-2,5 i3-5 i5=-12 -2,5 i2+4,5 i3-2 i6=14, -i1+3 i4-2 i5=8 -5 i2-2 i4+8,5 i5-1,5 i6=-30, -2 i3-1,5 i5+8 i6=0
Resolva o sistema usando o método de Gauss-Seidel (precisão de 0,01 )

Passo 1

Tranquilo! Temos um sistema de seis equações lineares que veio da lei de Kirchhoff, ou seja, a gente quer achar as correntes . A técnica escolhida é o método iterativo de Gauss–Seidel, que vai atualizar cada isolando na diagonal da matriz. A gente vai precisar:
  • Saber isolar cada incógnita em função das outras.
  • Escolher um inicial (aqui ).
  • Repetir as atualizações até a diferença entre iterações ficar abaixo de 0,01.

Passo 2

Primeiro, isolamos cada variável:
i1 &= 20 +4,i2 + i48, i2 &= -12 +4,i1 +2,5,i3 +5,i511,5, i3 &= 14 +2,5,i2 +2,i64,5, i4 &= 8 + i1 +2,i53, i5 &= -30 +5,i2 +2,i4 +1,5,i68,5, i6 &= 2,i3 +1,5,i58
No Gauss–Seidel, a cada iteração você usa já os valores mais novos para atualizar a sequência .

Passo 3

Começamos com chute inicial i1^(1) &= 20+4cdot0+08=2,5, i2^(1) &= -12+4cdot2,5+2,5cdot0+5cdot011,5approx -0,174, i3^(1) &= 14+2,5cdot(-0,174)+2cdot04,5approx3,015, i4^(1) &= 8+2,5+2cdot03=3,5, i5^(1) &= -30+5cdot(-0,174)+2cdot3,5+1,5cdot08,5approx -2,809, i6^(1) &= 2cdot3,015+1,5cdot(-2,809)8approx0,227 . Aí para :
Calcula-se o erro máximo e, se for >0,01, vai pra próxima iteração.

Passo 4

Repetimos esse processo, sempre usando varepsilon^(m)=maxk=1dots6l|,ik^(m)-ik^(m-1)r| fresquinho para calcular . A cada iteração a gente mede
Quando , paramos. Fiz as contas (mostrei a 1ª iteração como exemplo) e só concluí lá pela 20ª a atingir .

Resposta

Após convergir, os valores aproximados são (com duas casas decimais):
boxedi1approx1,06, i2approx-2,74, i3approx1,28, i4approx-0,57, i5approx-5,40, i6approx-0,69

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