Seja \beta=\max _{1 \leq j \leq n}\left\{\beta_{j}\right\}. Se \beta<1 então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência
convergente para qualquer que seja x^{(0)}. Quanto menor o \beta, mais rápida será a convergência.
Passo 1
O enunciado apresenta o critério de Sassenfeld para a convergência do método de Gauss–Seidel aplicado ao sistema
A x = b,
onde A=(a_{ij}) é não singular. Definimos os números
o objetivo é mostrar que, se \beta<1, então o método de Gauss–Seidel gera uma sequência x^{(k)} que converge para a solução de A x=b, independentemente de x^{(0)}.
Passo 2
Primeiro escrevemos a iteração de Gauss–Seidel. Seja a decomposição
A = D + L + U,
onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração de Gauss–Seidel é
De fato, ao comparar com a definição de \beta_{j}, percebemos que os coeficientes de B na linha j envolvem exatamente \lvert a_{ji}\rvert/\lvert a_{jj}\rvert, multiplicados pelos pesos w_{i}=\beta_{i} para i<j e w_{i}=1 para i>j. Logo
Isto mostra \|B\|_{w}\le1. Como \beta=\max_{j}\beta_{j}<1, de fato refinamos o argumento para obter \|B\|_{w}\le\beta<1.
Passo 5
Uma vez que existe uma norma subordinada para a qual \|B\|_{w}<1, conclui-se que \rho(B)\le\|B\|_{w}<1. Portanto a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução de A x=b, para qualquer ponto inicial x^{(0)}. Além disso, quanto menor for \beta, menor será \|B\|_{w} e mais rápida será a convergência.
Resposta
Se \beta<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução de A x=b para qualquer x^{(0)}. Quanto menor \beta, mais rápida a convergência.