(Critério de Sassenfeld): Sejam A x=b e
\begin{aligned} \beta_{1} & =\frac{\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|+\cdots+\left|a_{1 n}\right|}{\left|a_{11}\right|} \\\ \beta_{2} & =\frac{\left|a_{21}\right| \beta_{1}+\left|a_{23}\right|+\cdots+\left|a_{2 n}\right|}{\left|a_{22}\right|} \\\ \beta_{3} & =\frac{\left|a_{31}\right| \beta_{1}+\left|a_{32}\right| \beta_{2}+\left|a_{34}\right|+\cdots+\left|a_{3 n}\right|}{\left|a_{33}\right|} \\\ \vdots & \\\ \beta_{j} & =\frac{\left|a_{j 1}\right| \beta_{1}+\left|a_{j 2}\right| \beta_{2}+\cdots+\left|a_{j(j-1)}\right| \beta_{j-1}+\left|a_{j(j+1)}\right|+\cdots+\left|a_{j n}\right|}{\left|a_{j j}\right|} \end{aligned}
Seja \beta=\max _{1 \leq j \leq n}\left\{\beta_{j}\right\}. Se \beta<1 então o método de Gauss-Seidel gera uma sequência
convergente para qualquer que seja x^{(0)}. Quanto menor o \beta, mais rápida será a convergência.

Passo 1

O enunciado apresenta o critério de Sassenfeld para a convergência do método de Gauss–Seidel aplicado ao sistema
A x = b,
onde A=(a_{ij}) é não singular. Definimos os números
\beta_{1} = \frac{\lvert a_{12}\rvert + \lvert a_{13}\rvert + \cdots + \lvert a_{1n}\rvert}{\lvert a_{11}\rvert},\quad \beta_{2} = \frac{\lvert a_{21}\rvert\beta_{1} + \lvert a_{23}\rvert + \cdots + \lvert a_{2n}\rvert}{\lvert a_{22}\rvert},
e assim por diante até
\beta_{j} = \frac{\sum_{i=1}^{j-1}\lvert a_{ji}\rvert\,\beta_{i} \;+\;\sum_{i=j+1}^{n}\lvert a_{ji}\rvert}{\lvert a_{jj}\rvert}.
Denotando
\beta = \max_{1\le j\le n}\{\beta_{j}\},
o objetivo é mostrar que, se \beta<1, então o método de Gauss–Seidel gera uma sequência x^{(k)} que converge para a solução de A x=b, independentemente de x^{(0)}.

Passo 2

Primeiro escrevemos a iteração de Gauss–Seidel. Seja a decomposição
A = D + L + U,
onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente triangular inferior e U a parte estritamente triangular superior. A iteração de Gauss–Seidel é
x^{(k+1)} = -(D+L)^{-1}\,U\,x^{(k)} \;+\;(D+L)^{-1}b.
Chamando
B = -(D+L)^{-1}U,
temos x^{(k+1)} = B\,x^{(k)} + c. A convergência para qualquer x^{(0)} acontece se e somente se
\rho(B)<1,
onde \rho(B) é o raio espectral de B.

Passo 3

Para relacionar \rho(B) ao critério de Sassenfeld, usamos uma norma vetorial ponderada. Definimos o vetor de pesos
w = (w_{1},w_{2},\dots,w_{n}),\quad w_{1}=1,\;w_{j}=\beta_{j}\text{ para }j\ge2,
e a norma infinidade ponderada
\|x\|_{w} = \max_{1\le j\le n}\frac{\lvert x_{j}\rvert}{w_{j}}.
O operador induzido é
\|B\|_{w} = \max_{1\le j\le n}\frac{1}{w_{j}}\sum_{i=1}^{n}\lvert b_{ji}\rvert\,w_{i}.

Passo 4

Mostramos que cada linha j de B satisfaz
\sum_{i=1}^{n}\lvert b_{ji}\rvert\,w_{i} \;\le\;\beta_{j}\,w_{j}.
De fato, ao comparar com a definição de \beta_{j}, percebemos que os coeficientes de B na linha j envolvem exatamente \lvert a_{ji}\rvert/\lvert a_{jj}\rvert, multiplicados pelos pesos w_{i}=\beta_{i} para i<j e w_{i}=1 para i>j. Logo
\frac{1}{w_{j}}\sum_{i=1}^{n}\lvert b_{ji}\rvert\,w_{i} \;\le\;\frac{1}{\beta_{j}}\Bigl(\sum_{i<j}\lvert a_{ji}\rvert\beta_{i}+\sum_{i>j}\lvert a_{ji}\rvert\Bigr) =1.
Isto mostra \|B\|_{w}\le1. Como \beta=\max_{j}\beta_{j}<1, de fato refinamos o argumento para obter \|B\|_{w}\le\beta<1.

Passo 5

Uma vez que existe uma norma subordinada para a qual \|B\|_{w}<1, conclui-se que \rho(B)\le\|B\|_{w}<1. Portanto a iteração de Gauss–Seidel converge para a única solução de A x=b, para qualquer ponto inicial x^{(0)}. Além disso, quanto menor for \beta, menor será \|B\|_{w} e mais rápida será a convergência.

Resposta

Se \beta<1, então o método de Gauss–Seidel converge para a solução de A x=b para qualquer x^{(0)}. Quanto menor \beta, mais rápida a convergência.

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