Mostre que para o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+0,5 x_{2}-0,1 x_{3}+0,1 x_{4}=0,2 \\\\ 0,2 x_{1}+x_{2}-0,2 x_{3}-0,1 x_{4}=-2,6 \\\\ -0,1 x_{1}-0,2 x_{2}+x_{3}+0,2 x_{4}=1 \\\\ 0,1 x_{1}+0,3 x_{2}+0,2 x_{3}+x_{4}=-2,5 \end{array}\right.
o método de Gauss-Seidel converge. Neste caso, vamos verificar que o critério de Sassenfeld é satisfeito.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+0,5\,x_{2}-0,1\,x_{3}+0,1\,x_{4}=0,2,\\\\ 0,2\,x_{1}+x_{2}-0,2\,x_{3}-0,1\,x_{4}=-2,6,\\\\ -0,1\,x_{1}-0,2\,x_{2}+x_{3}+0,2\,x_{4}=1,\\\\ 0,1\,x_{1}+0,3\,x_{2}+0,2\,x_{3}+x_{4}=-2,5. \end{cases}
Queremos mostrar que o método de Gauss–Seidel converge aplicando o critério de Sassenfeld, que diz: se
\beta_i = \frac{1}{|a_{ii}|}\Bigl(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\,\beta_j + \sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\Bigr)
e \max_i\beta_i<1, então o método converge.

Passo 2

Calculamos \beta_1 usando a primeira equação, onde a_{11}=1 e não há termos anteriores:
\beta_1 = \frac{|0,5|+|{-0,1}|+|0,1|}{1} = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7.

Passo 3

Para \beta_2 usamos a segunda equação com a_{22}=1 e incorporamos \beta_1:
\beta_2 = \frac{|0,2|\,\beta_1 + |{-0,2}| + |{-0,1}|}{1} = 0,2\cdot0,7 + 0,2 + 0,1 = 0,14 + 0,3 = 0,44.

Passo 4

Para \beta_3 com a_{33}=1 e usando \beta_1,\beta_2:
\beta_3 = \frac{|{-0,1}|\,\beta_1 + |{-0,2}|\,\beta_2 + |0,2|}{1} = 0,1\cdot0,7 + 0,2\cdot0,44 + 0,2 = 0,07 + 0,088 + 0,2 = 0,358.

Passo 5

Para \beta_4 com a_{44}=1 e usando \beta_1,\beta_2,\beta_3:
\beta_4 = \frac{|0,1|\,\beta_1 + |0,3|\,\beta_2 + |0,2|\,\beta_3}{1} = 0,1\cdot0,7 + 0,3\cdot0,44 + 0,2\cdot0,358 = 0,07 + 0,132 + 0,0716 = 0,2736.

Passo 6

Como
\max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4\} = 0,7 < 1,
o critério de Sassenfeld está satisfeito e, portanto, o método de Gauss–Seidel converge para este sistema.

Resposta

O critério de Sassenfeld produz
\beta_1=0,7, \beta_2=0,44, \beta_3=0,358, \beta_4=0,2736,
todas menores que 1, logo o método de Gauss–Seidel converge.

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