Dado o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+x_{3}=3 \\\ x_{1}-x_{2}=1 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=9 \end{array}\right.
vamos verificar que o critério das linhas não é satisfeito mas o de Sassenfeld é.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+x_{3}=3,\\\ x_{1}-x_{2}=1,\\\\ 3x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9, \end{cases}
e pede para verificar dois critérios de convergência de métodos iterativos (por exemplo, Gauss–Seidel): o critério de dominância das linhas e o critério de Sassenfeld.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor b:
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 3\\\\ 1\\\\ 9 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para o critério de dominância das linhas, comparamos em cada linha i o valor \lvert a_{ii}\rvert com a soma \sum_{j\neq i}\lvert a_{ij}\rvert:
Linha 1:
\lvert a_{11}\rvert =\lvert 3\rvert=3,
\sum_{j\neq1}\lvert a_{1j}\rvert = \lvert 0\rvert+\lvert 1\rvert=1,
e 3\ge1 (ok).
Linha 2:
\lvert a_{22}\rvert =\lvert -1\rvert=1,
\sum_{j\neq2}\lvert a_{2j}\rvert = \lvert 1\rvert+\lvert 0\rvert=1,
e 1\ge1 (ok, mas não estrito).
Linha 3:
\lvert a_{33}\rvert =\lvert 2\rvert=2,
\sum_{j\neq3}\lvert a_{3j}\rvert = \lvert 3\rvert+\lvert 1\rvert=4,
e 2<4 (falha).
Como a linha 3 não satisfaz \lvert a_{33}\rvert\ge\sum_{j\neq3}\lvert a_{3j}\rvert, o critério das linhas não é satisfeito.

Passo 4

Para o critério de Sassenfeld, definimos
\beta_i = \frac{1}{\lvert a_{ii}\rvert} \Bigl(\sum_{j=1}^{i-1}\lvert a_{ij}\rvert\,\beta_j \;+\;\sum_{j=i+1}^{n}\lvert a_{ij}\rvert\Bigr).
Calculamos em ordem:
\beta_{1} = \dfrac{\lvert a_{13}\rvert}{\lvert a_{11}\rvert} = \dfrac{1}{3}.
\beta_{2} = \dfrac{\lvert a_{21}\rvert\,\beta_{1} + \lvert a_{23}\rvert}{\lvert a_{22}\rvert} = \dfrac{1\cdot\frac13 + 0}{1} = \frac13.
\beta_{3} = \dfrac{\lvert a_{31}\rvert\,\beta_{1} + \lvert a_{32}\rvert\,\beta_{2}}{\lvert a_{33}\rvert} = \dfrac{3\cdot\frac13 + 1\cdot\frac13}{2} = \dfrac{1 + \frac13}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}.
Como
\max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\} = \tfrac{2}{3} < 1,
o critério de Sassenfeld é satisfeito, garantindo convergência de Gauss–Seidel.

Resposta

O critério de dominância das linhas não é satisfeito, mas o critério de Sassenfeld é satisfeito.

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