Resolva pelo método de Gauss-Seidel o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=1 \\\ x_{1}+2 x_{2}=3 \end{array},\right.
\operatorname{com} x^{(0)}=\binom{0}{0} e \varepsilon=0,05.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}=1,\\\ x_{1}+2x_{2}=3 \end{cases}
pelo método de Gauss–Seidel, com chute inicial
\,x^{(0)}=(0,0)^{T}
e tolerância \,\varepsilon=0,05.
O conteúdo é iteração de ponto-fixo para sistemas lineares, usando sempre o valor mais recente de cada componente.

Passo 2

Isolamos x_{1} na primeira equação e x_{2} na segunda, gerando as fórmulas iterativas
x_{1}^{(k+1)} \;=\;\frac{1 + x_{2}^{(k)}}{2}, \qquad x_{2}^{(k+1)} \;=\;\frac{3 - x_{1}^{(k+1)}}{2}.
Adotamos como critério de parada
\max\bigl(\lvert x_{1}^{(k+1)}-x_{1}^{(k)}\rvert,\;\lvert x_{2}^{(k+1)}-x_{2}^{(k)}\rvert\bigr) <\varepsilon.

Passo 3

Primeira iteração ( k=0\to1):
x_{1}^{(1)}=\frac{1+0}{2}=0,5, \qquad x_{2}^{(1)}=\frac{3-0,5}{2}=1,25.
Diferença máxima
\max(\lvert0,5-0\rvert,\lvert1,25-0\rvert)=1,25>0,05, continua.

Passo 4

Segunda iteração ( k=1\to2):
x_{1}^{(2)}=\frac{1+1,25}{2}=1,125, \qquad x_{2}^{(2)}=\frac{3-1,125}{2}=0,9375.
Diferença máxima
\max(\lvert1,125-0,5\rvert,\lvert0,9375-1,25\rvert)=0,625>0,05, continua.

Passo 5

Terceira iteração ( k=2\to3):
x_{1}^{(3)}=\frac{1+0,9375}{2}=0,96875, \qquad x_{2}^{(3)}=\frac{3-0,96875}{2}=1,015625.
Diferença máxima
\max(\lvert0,96875-1,125\rvert,\lvert1,015625-0,9375\rvert)=0,15625>0,05, continua.

Passo 6

Quarta iteração ( k=3\to4):
x_{1}^{(4)}=\frac{1+1,015625}{2}=1,0078125, \qquad x_{2}^{(4)}=\frac{3-1,0078125}{2}=0,99609375.
Diferença máxima
\max(\lvert1,0078125-0,96875\rvert,\lvert0,99609375-1,015625\rvert)=0,0390625<0,05.
Como o critério de parada foi satisfeito, interrompemos as iterações.

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss–Seidel com \varepsilon=0,05 é
x\approx\begin{pmatrix}1,0078125\\\ 0,99609375\end{pmatrix},
obtida em 4 iterações.

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