Dada a equação literal de incógnita x: 2 x^2+(k-4) cdot x+(6 k-2)=0
a) para que valor de k as raízes tem soma 11 ?
b) para que valor de k as raízes tem produto 11 ?
c) para que valor de k o número 0 é raiz?
d) para que valor de k o número 1 é raiz?
e) se o número 2 é raiz, qual é a outra raiz?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma equação do 2º grau em x com um parâmetro k:
2x^2 + (k-4),x + (6k-2) = 0
O que cai aqui é a parte de “Equação do 2º grau” e, em especial, as fórmulas de Viète, que dizem que, para
ax^2 + bx + c = 0,
as raízes x1 + x2 = -ba, x1 cdot x2 = ca e satisfazem
Também vamos usar checagem por substituição direta quando pedirem “x é raiz”.

Passo 2

(a) Queremos que a soma das raízes valha 11.
Pela Viète,
x1 + x2 = -ba = -k-42
e isso deve ser 11. Então:
-k-42 = 11 Longrightarrow k-42 = -11 Longrightarrow k-4 = -22 Longrightarrow k = -18

Passo 3

(b) Agora a gente quer que o produto das raízes dê 11.
Pela Viète,
x1 , x2 = ca = 6k - 22
e isso deve ser 11. Então:
6k-22 = 11 Longrightarrow 6k - 2 = 22 Longrightarrow 6k = 24 Longrightarrow k = 4

Passo 4

© Se 0 é raiz, basta substituir 2cdot0^2 + (k-4)cdot0 + (6k-2) = 0 Longrightarrow 6k - 2 = 0 Longrightarrow k = tfrac13 na equação:

Passo 5

(d) Se 1 é raiz, substitui 2cdot1^2 + (k-4)cdot1 + (6k-2) = 0 Longrightarrow 2 + k - 4 + 6k - 2 = 0 Longrightarrow 7k - 4 = 0 Longrightarrow k = tfrac47 :

Passo 6

(e) Se 2 é raiz, primeiro achamos o k correspondente:
2cdot2^2 + (k-4)cdot2 + (6k-2) = 0 ;Longrightarrow; 8 + 2k - 8 + 6k - 2 = 0 ;Longrightarrow; 8k - 2 = 0 ;Longrightarrow; k = tfrac14
Agora que já sabemos x1 + x2 = -k-42 = -tfrac14 - 42 = --tfrac1542 = tfrac158 , usamos Viète pra achar a outra raiz:
  • Soma das raízes:
x2 = l(x1 + x2r) - 2 = tfrac158 - tfrac168 = -tfrac18
  • Uma raiz é 2, então a outra é

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) Se 2 é raiz (com ), a outra raiz é .

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