Foram estudadas 9 crianças com o objetivo de verificar se existe regressão da capacidade pulmonar sobre a idade. Os dados estão apresentados a seguir.
Idade <br> (anos)-x 4 5 6 7 8
Cap. <br> Vital(L)-y 0,7 0,9 1,2 1,3 1,3
Determine:
O valor estimado da capacidade pulmonar para 9 anos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede: a gente tem 5 pares de dados (idade x capacidade pulmonar y) e quer ver se dá para ajustar uma reta (regressão linear simples) que explica como y varia com x. O conteúdo aqui é regressão linear: precisamos calcular médias, a variância de x, a covariância entre x e y e daí achar os coeficientes da reta
hat y = a + b,x
Depois, é só usar essa reta pra estimar y quando .

Passo 2

Primeiro a gente calcula as médias de x e de y. As fórmulas são:
bar x = 1nsumi=1^n xi, bar y = 1nsumi=1^n yi
Aqui bar x = 305 = 6 .
Soma de x: bar y = 5,45 = 1,08 , então
Soma de y: , logo

Passo 3

Agora precisamos da covariância amostral Sxy = sumi=1^n (xi - bar x)(yi - bar y), Sxx = sumi=1^n (xi - bar x)^2 e da variância amostral de x, Sxy = 0,76 + 0,18 + 0 + 0,22 + 0,44 = 1,60 :
Sxx = 10
Montando a tabela mentalmente:
i) Para :
, , produto = .
ii) Para : , , produto = .
iii) Para : , , produto = .
iv) Para : , , produto = .
v) Para : , , produto = .
Somando tudo:
Para , usamos :
. Soma = . Então

Passo 4

Com esses valores, achamos o coeficiente angular (slope) e o coeficiente linear (intercept):
b = SxySxx = 1,6010 = 0,16, a = bar y - b,bar x = 1,08 - 0,16times6 = 1,08 - 0,96 = 0,12
Logo a reta de regressão ficou
hat y = 0,12 + 0,16,x

Passo 5

Para estimar a capacidade pulmonar aos 9 anos, é só colocar hat y(9) = 0,12 + 0,16times9 = 0,12 + 1,44 = 1,56 na reta:

Resposta

A capacidade pulmonar estimada para uma criança de 9 anos é 1,56 L.

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