Dada
, pede-se:
Calcule uma aproximação para a raiz de
utilizando o método de Newton e quatro iterações. Compare os resultados com os métodos de Newton Modificado e Secante.
Calcule uma aproximação para a raiz de
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos a função
e pede para achar uma aproximação da raiz de
(ou seja, o
que anula
) usando três métodos numéricos:
- Método de Newton
- Método de Newton Modificado
- Método da Secante
O conteúdo aqui é “Métodos Iterativos para Raízes de Equações” em Cálculo Numérico.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Saber derivar
. - Entender a fórmula de iteração de cada método.
- Escolher um chute inicial (ou dois, no caso da secante).
- Executar 4 iterações em cada método e ver onde eles estão convergindo.
A partir de agora, tamo junto: eu mostro passo a passo sem pular nada, como se eu fosse seu brother explicando no quadro da sala.
Passo 2
-
Primeiro, a teoria por trás:
- A ideia do Método de Newton é usar a reta tangente em
para achar . - Fórmula geral:
- A ideia do Método de Newton é usar a reta tangente em
-
Calcular
: -
Escolha do chute inicial: vamos usar
(porque e , a raiz está lá pelo meio). -
Agora, as quatro iterações (vou arredondar só pra não ficar gigante, mas o processo é esse):Iteração 1Iteração 2Iteração 3Iteração 4
Passo 3
-
A ideia do “Newton Modificado” que a gente usa aqui é fixar a derivada no ponto inicial
.
Em vez de recalculara cada passo, usamos sempre Assim a fórmula viraÉ menos preciso que o Newton puro, mas é mais barato quandoé cara de calcular. -
Já sabemos de cima:
-
Vamos às iterações (mesmo
): Iteração 1(igual ao Newton normal no primeiro passo, já que usamosem ambos). Iteração 2Iteração 3Iteração 4
Passo 4
-
No método da secante a gente não usa derivada, mas dois chutes iniciais
. -
Fórmula geral:
-
Vamos escolher
e (porque já vimos e ). Iteração 1Iteração 2Iteração 3Iteração 4
Resposta
Depois de 4 iterações:
- Método de Newton (puro):
. - Método de Newton Modificado:
. - Método da Secante:
.
Comparando, todo mundo converge para ~2,926, mas:
- O Newton puro foi super rápido (quase exato na 3ª iteração).
- O Newton modificado perdeu um tiquinho em velocidade porque manteve a derivada fixa.
- A secante, sem usar derivada, também chegou num valor bem parecido em 4 passos.
Então, no fim das contas, raiz ≃ 2,926.