Dada f(x)=ln (x)+x-4, pede-se:
Calcule uma aproximação para a raiz de f utilizando o método de Newton e quatro iterações. Compare os resultados com os métodos de Newton Modificado e Secante.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos a função
f(x) = ln(x) + x - 4
e pede para achar uma aproximação da raiz de (ou seja, o que anula ) usando três métodos numéricos:
  1. Método de Newton
  2. Método de Newton Modificado
  3. Método da Secante
O conteúdo aqui é “Métodos Iterativos para Raízes de Equações” em Cálculo Numérico.
O que a gente vai precisar:
  • Saber derivar .
  • Entender a fórmula de iteração de cada método.
  • Escolher um chute inicial (ou dois, no caso da secante).
  • Executar 4 iterações em cada método e ver onde eles estão convergindo.
A partir de agora, tamo junto: eu mostro passo a passo sem pular nada, como se eu fosse seu brother explicando no quadro da sala.

Passo 2

  1. Primeiro, a teoria por trás:
    • A ideia do Método de Newton é usar a reta tangente em xn+1 ;=; xn ;-; f(xn)f'(xn) para achar f(x)=ln(x)+x-4 Longrightarrow f'(x)=1x+1 .
    • Fórmula geral: f(2) = ln(2)+2-4 approx -1,3069, f'(2)=tfrac12+1=1,5,
  2. Calcular x1 = 2 - -1,30691,5 approx 2 + 0,8713 = 2,8713 :
    f(2,8713)approx -0,0740, f'(2,8713)approx 1,3483 ;Longrightarrow; x2 = 2,8713 - -0,07401,3483 approx 2,9262
  3. Escolha do chute inicial: vamos usar f(2,9262)approx +0,0004, f'(2,9262)approx 1,3417 ;Longrightarrow; x3 = 2,9262 - 0,00041,3417 approx 2,9259 (porque f(2,9259)approx -7,7times10^-8, f'(2,9259)approx 1,3417 ;Longrightarrow; x4 = 2,9259 - -7,7times10^-81,3417 approx 2,9260 e , a raiz está lá pelo meio).
  4. Agora, as quatro iterações (vou arredondar só pra não ficar gigante, mas o processo é esse):
    Iteração 1
    Iteração 2
    Iteração 3
    Iteração 4

Passo 3

  1. A ideia do “Newton Modificado” que a gente usa aqui é fixar a derivada no ponto inicial f'(x0) .
    Em vez de recalcular xn+1 = xn - f(xn)f'(x0) a cada passo, usamos sempre
    f'(2)=1,5
    Assim a fórmula vira
    x1 = 2 - -1,30691,5 = 2,8713
    É menos preciso que o Newton puro, mas é mais barato quando f(2,8713)approx -0,0740 Longrightarrow x2 = 2,8713 - -0,07401,5 approx 2,9206 é cara de calcular.
  2. Já sabemos de cima:
    f(2,9206)approx -0,0069 Longrightarrow x3 = 2,9206 - -0,00691,5 approx 2,9252
  3. Vamos às iterações (mesmo f(2,9252)approx -0,0009 Longrightarrow x4 = 2,9252 - -0,00091,5 approx 2,9258 ):
    Iteração 1
    (igual ao Newton normal no primeiro passo, já que usamos em ambos).
    Iteração 2
    Iteração 3
    Iteração 4

Passo 4

  1. No método da secante a gente não usa derivada, mas dois chutes iniciais xn+1 = xn ;-; f(xn),xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) .
  2. Fórmula geral:
    f(2)=-1,3069, f(3)=+0,0986 ;Longrightarrow; x2 = 3 - 0,09863-20,0986 - (-1,3069) approx 2,9299
  3. Vamos escolher f(2,9299)approx +0,0055 ;Longrightarrow; x3 = 2,9299 - 0,00552,9299-30,0055-0,0986 approx 2,9341 e f(2,9341)approx +0,0115 ;Longrightarrow; x4 = 2,9341 - 0,01152,9341-2,92990,0115-0,0055 approx 2,9261 (porque já vimos f(2,9261)approx +0,00035 ;Longrightarrow; x5 = 2,9261 - 0,000352,9261-2,93410,00035-0,0115 approx 2,9258 e ).
    Iteração 1
    Iteração 2
    Iteração 3
    Iteração 4

Resposta

Depois de 4 iterações:
  • Método de Newton (puro): .
  • Método de Newton Modificado: .
  • Método da Secante: .
Comparando, todo mundo converge para ~2,926, mas:
  • O Newton puro foi super rápido (quase exato na 3ª iteração).
  • O Newton modificado perdeu um tiquinho em velocidade porque manteve a derivada fixa.
  • A secante, sem usar derivada, também chegou num valor bem parecido em 4 passos.
Então, no fim das contas, raiz ≃ 2,926.

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