A função f(x)=x e^-x-e^-3, x in R, possui duas raízes reais: alpha1 in[0.001,1] e alpha2 in[4,5]. Considere as funções phi1(x)=e^x-3 e phi2(x)=ln (x)+3.
A função phi1 pode ser usada para aproximar alpha1 pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função phi2 ? Justifique e faça três iterações do método.

Passo 1

Beleza, o problema diz que a gente tem
f(x)=x e(–x)–e(–3), e que ela tem uma raiz α₁ em [0.001,1].
As funções de ponto-fixo são φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
O que precisamos é:
  1. Ver se cada φ é contrativa em [0.001,1] (ou seja, |φ′(x)|<1 ali) para ter garantia de convergência pelo Teorema do Ponto-Fixo de Banach.
  2. Se der certo, fazer 3 iterações de x_{k+1}=φ(x_k) para aproximar α₁.

Passo 2

Teoria rápida: para usar iteração de ponto-fixo garantia­da, queremos que φ: [a,b]→[a,b] e |φ′(x)|≤L<1 em todo [a,b].
  1. φ₁(x)=e^(x–3) ⇒ φ₁′(x)=e^(x–3).
    Em x∈[0.001,1], x–3 varia de –2.999 até –2, logo
    0.0500≈e(–2.999)≤φ₁′(x)≤e(–2)=0.1353<1.
    Então φ₁ é contrativa em [0.001,1] e mapeia esse intervalo nele mesmo. Converge!
  2. φ₂(x)=ln(x)+3 ⇒ φ₂′(x)=1/x.
    Em [0.001,1], 1/x varia de 1 até 1000. Tem pedaço >1, então NÃO é contrativa ali. Sem garantia.

Passo 3

Como só φ₁ serve, vamos iterar ela.
Escolho x₀=0.5 (qualquer chute em [0.001,1] funciona).
Fórmula: x_{k+1}=φ₁(x_k)=e^(x_k–3).
x₁ = e^(0.5–3) = e^(–2.5) ≈ 0.082085
x₂ = e^(x₁–3) = e^(0.082085–3) = e^(–2.917915) ≈ 0.054020
x₃ = e^(x₂–3) = e^(0.054020–3) = e^(–2.945980) ≈ 0.052570

Resposta

φ₁ converge (|φ₁′|<1 em [0.001,1]), φ₂ não (|φ₂′|>1 em parte do intervalo).
As três iterações com φ₁ deram:
x₁≈0.082085, x₂≈0.054020, x₃≈0.052570.

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