A função
, possui duas raízes reais:
e
. Considere as funções
e
.
A função
pode ser usada para aproximar
pelo Método das Aproximações Sucessivas com garantia de convergência? E a função
? Justifique e faça três iterações do método.
A função
Passo 1
Beleza, o problema diz que a gente tem
f(x)=x e(–x)–e(–3), e que ela tem uma raiz α₁ em [0.001,1].
As funções de ponto-fixo são φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
O que precisamos é:
f(x)=x e(–x)–e(–3), e que ela tem uma raiz α₁ em [0.001,1].
As funções de ponto-fixo são φ₁(x)=e^(x–3) e φ₂(x)=ln(x)+3.
O que precisamos é:
- Ver se cada φ é contrativa em [0.001,1] (ou seja, |φ′(x)|<1 ali) para ter garantia de convergência pelo Teorema do Ponto-Fixo de Banach.
- Se der certo, fazer 3 iterações de x_{k+1}=φ(x_k) para aproximar α₁.
Passo 2
Teoria rápida: para usar iteração de ponto-fixo garantiada, queremos que φ: [a,b]→[a,b] e |φ′(x)|≤L<1 em todo [a,b].
- φ₁(x)=e^(x–3) ⇒ φ₁′(x)=e^(x–3).
Em x∈[0.001,1], x–3 varia de –2.999 até –2, logo
0.0500≈e(–2.999)≤φ₁′(x)≤e(–2)=0.1353<1.
Então φ₁ é contrativa em [0.001,1] e mapeia esse intervalo nele mesmo. Converge! - φ₂(x)=ln(x)+3 ⇒ φ₂′(x)=1/x.
Em [0.001,1], 1/x varia de 1 até 1000. Tem pedaço >1, então NÃO é contrativa ali. Sem garantia.
Passo 3
Como só φ₁ serve, vamos iterar ela.
Escolho x₀=0.5 (qualquer chute em [0.001,1] funciona).
Fórmula: x_{k+1}=φ₁(x_k)=e^(x_k–3).
Escolho x₀=0.5 (qualquer chute em [0.001,1] funciona).
Fórmula: x_{k+1}=φ₁(x_k)=e^(x_k–3).
x₁ = e^(0.5–3) = e^(–2.5) ≈ 0.082085
x₂ = e^(x₁–3) = e^(0.082085–3) = e^(–2.917915) ≈ 0.054020
x₃ = e^(x₂–3) = e^(0.054020–3) = e^(–2.945980) ≈ 0.052570
x₂ = e^(x₁–3) = e^(0.082085–3) = e^(–2.917915) ≈ 0.054020
x₃ = e^(x₂–3) = e^(0.054020–3) = e^(–2.945980) ≈ 0.052570
Resposta
φ₁ converge (|φ₁′|<1 em [0.001,1]), φ₂ não (|φ₂′|>1 em parte do intervalo).
As três iterações com φ₁ deram:
x₁≈0.082085, x₂≈0.054020, x₃≈0.052570.
As três iterações com φ₁ deram:
x₁≈0.082085, x₂≈0.054020, x₃≈0.052570.