Dada a função: F(x, y, z)=4 x^2-y^2+z^2
(d) Determine a derivada direcional de F(x, y, z) em (1,1,1) na direção do vetor encontrado no item anterior.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
F(x,y,z) = 4x^2 - y^2 + z^2
e queremos a derivada direcional de no ponto na direção do vetor que a gente achou no item anterior. O assunto é derivada direcional e gradiente: a gente vai precisar
  1. do gradiente de ,
  2. de converter o vetor em vetor unitário,
  3. de usar a fórmula da derivada direcional .

Passo 2

Primeiro vamos relembrar o gradiente de nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x,;partial Fpartial y,;partial Fpartial zr) . Por definição,
partial Fpartial x = 8x, partial Fpartial y = -2y, partial Fpartial z = 2z
No nosso caso:
nabla F(x,y,z) = (8x,,-2y,,2z)
Então
nabla F(1,1,1) = (8,-2,2)
No ponto fica
Esse é o vetor que saiu no item anterior.

Passo 3

Agora a derivada direcional exige um vetor unitário na direção |,(8,-2,2)| = raiz8^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz64+4+4 = raiz72 = 6raiz2 . Primeiro achamos a norma:
u = 16raiz2,(8,-2,2) = l(tfrac86raiz2,,tfrac-26raiz2,,tfrac26raiz2r)
O vetor unitário é

Passo 4

A fórmula da derivada direcional é
D uF(1,1,1) = nabla F(1,1,1);cdot; u
Substituindo:
(8,-2,2)cdotl(tfrac86raiz2,,tfrac-26raiz2,,tfrac26raiz2r) = 8cdot8 + (-2)cdot(-2) + 2cdot26raiz2 = 64 + 4 + 46raiz2 = 726raiz2 = 12raiz2 = 6raiz2

Resposta

D uF(1,1,1) = 6raiz2

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