Dada a função:
© Determine a direção (vetor unitário) correspondente a maior taxa de variação da função
no ponto
e dê o valor desta taxa máxima;
© Determine a direção (vetor unitário) correspondente a maior taxa de variação da função
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos a função
e pede, no ponto
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e normalização de vetor.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais de
- Avaliar esse gradiente em
- Normalizar o gradiente pra virar vetor unitário.
- Reconhecer que a taxa máxima de variação é o módulo do gradiente.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é derivada parcial e gradiente.
- A derivada parcial
mede a variação de só mudando , deixando fixos. - O vetor gradiente é
Ele aponta na direção de maior aumento de
Passo 3
Vamos achar cada derivada parcial de
:
-
(porque derivada de é , e viram zero). -
(derivada de é ). -
(derivada de é ).
Então
Passo 4
Agora avalia em
:
Esse é o vetor que aponta na direção de maior crescimento, mas não é unitário ainda.
Passo 5
Pra virar vetor unitário a gente divide pelo módulo dele.
- Calcula o módulo:
2) Divide cada componente por
Dá pra simplificar fatorando 2:
Esse é o vetor unitário na direção de maior variação.
Passo 6
A taxa máxima de variação é justamente o módulo do gradiente em
, ou seja
.
Resposta
Direção de maior crescimento (vetor unitário):
Valor da taxa máxima de variação: