Dada a função: F(x, y, z)=4 x^2-y^2+z^2
© Determine a direção (vetor unitário) correspondente a maior taxa de variação da função F(x, y, z) no ponto P0=(1,1,1) e dê o valor desta taxa máxima;

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos a função
F(x,y,z)=4x^2 - y^2 + z^2
e pede, no ponto P0=(1,1,1), qual a direção (isto é, o vetor unitário) em que F cresce mais rápido e qual é essa taxa máxima de crescimento.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e normalização de vetor.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais de F para montar o gradiente nabla F.
- Avaliar esse gradiente em P0.
- Normalizar o gradiente pra virar vetor unitário.
- Reconhecer que a taxa máxima de variação é o módulo do gradiente.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é derivada parcial e gradiente.
  • A derivada parcial partial Fpartial x mede a variação de F só mudando x, deixando y,z fixos.
  • O vetor gradiente é
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x, ;partial Fpartial y,;partial Fpartial zr)
Ele aponta na direção de maior aumento de F e sua magnitude diz quão rápido cresce nessa direção.

Passo 3

Vamos achar cada derivada parcial de F(x,y,z)=4x^2 - y^2 + z^2:
  1. partial Fpartial x=8x (porque derivada de 4x^2 é 8x, e y^2,z^2 viram zero).
  2. partial Fpartial y=-2y (derivada de -y^2 é -2y).
  3. partial Fpartial z=2z (derivada de z^2 é 2z).
    Então
nabla F(x,y,z)=(8x,,-2y,,2z)

Passo 4

Agora avalia em P0=(1,1,1):
nabla F(1,1,1)=(8cdot1,,-2cdot1,;2cdot1)=(8,,-2,,2)
Esse é o vetor que aponta na direção de maior crescimento, mas não é unitário ainda.

Passo 5

Pra virar vetor unitário a gente divide pelo módulo dele.
  1. Calcula o módulo:
|,(8,-2,2),|=raiz8^2+(-2)^2+2^2=raiz64+4+4=raiz72=6raiz2
2) Divide cada componente por 6raiz2:
u=16raiz2(8,,-2,,2)=l(86raiz2,;-26raiz2,;26raiz2r)
Dá pra simplificar fatorando 2:
u=l(43raiz2,,-13raiz2,;13raiz2r)
Esse é o vetor unitário na direção de maior variação.

Passo 6

A taxa máxima de variação é justamente o módulo do gradiente em P0, ou seja 6raiz2.

Resposta

Direção de maior crescimento (vetor unitário):
u=l(tfrac43raiz2,,-tfrac13raiz2,;tfrac13raiz2r)
Valor da taxa máxima de variação:
6raiz2

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