Dada a função P(x)=x^3-9 x+3, considerando a precisão varepsilon1=varepsilon2=1 cdot 10^-4, encontre uma aproximação para a zero da função usando:
a) O método de Newton com X0=0,5
b) O método da secante com X0=0 e X1=1
c) Estime quantas iterações seriam necessárias caso usássemos o método da Bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos achar a raiz de
P(x)=x^3-9x+3
usando três métodos de “encher linguiça” de sinais: Newton, Secante e uma estimativa de Bisseção.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (Newton, Secante, Bisseção).
O que precisamos:
  • Para Newton: a fórmula xn+1=xn - P(xn)P'(xn) e xn+1 = xn - P(xn),xn - xn-1P(xn)-P(xn-1) .
  • Para Secante: N >= log((b-a)/varepsilon)log 2
  • Para Bisseção: a ideia de que, num intervalo com , o número mínimo de etapas para chegar em é
A tolerância que o enunciado dá é .

Passo 2

Método de Newton (com P(x)=x^3-9x+3, P'(x)=3x^2-9 , parar quando x1 = 0.5 - 0.5^3-9cdot0.5+33cdot0.5^2-9 =0.5 - -1.375-8.25 =0.333333 ):
  1. Definimos P(0.3333)approx0.03704, P'(0.3333)approx-8.6667,
  2. Iteração 1: x2 = 0.333333 - 0.03704-8.6667 approx0.337606
  3. Iteração 2: P(0.337606)approx3.6times10^-5,; P'(0.337606)approx-8.6581 x3 = 0.337606 - 3.6times10^-5-8.6581 approx0.337610
  4. Iteração 3:
Como , paramos.

Passo 3

Método da Secante ( x2 = 1 - (-5),1-0-5-3 =1 - -5-8 =0.375 , P(0.375)approx-0.3223,;P(1)=-5 , mesma tolerância):
  1. x3 = 0.375 - (-0.3223),0.375-1-0.3223-(-5) approx0.33194 .
  2. Iteração 1: P(0.33194)approx0.04908,;P(0.375)approx-0.3223
  3. Iteração 2: x4 = 0.33194 - 0.04908,0.33194-0.3750.04908-(-0.3223) approx0.337622 P(0.337622)approx-1.15times10^-4,;P(0.33194)approx0.04908
  4. Iteração 3: x5 = 0.337622 - (-1.15times10^-4),0.337622-0.33194-1.15times10^-4-0.04908 approx0.337609
  5. Iteração 4:
Como , paramos. Foram 4 iterações.

Passo 4

Estimativa de Bisseção no intervalo N >= log((1-0)/10^-4)log2 = log(10^4)log2 approx 4ln10ln2 approx 13,3 (porque e ):
Arredondando pra cima, precisamos de iterações.

Resposta

a) Método de Newton: (3 iterações)
b) Método da Secante: (4 iterações)
c) Bisseção precisaria de iterações.

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