Usando o método do ponto fixo, determine a raiz positiva da função f(x)=x-sen x-1. Considere x0=1.1, critério de parada erro absoluto e tolerância varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra achar a raiz positiva de
usando o método do ponto fixo, começando em f(x)=x-sen x-1, com critério de parada .
Isso é conteúdo de métodos numéricos (raízes de equações) e vamos precisar de:
  • Reescrever como .
  • Entender o critério de convergência .
  • Saber calcular e estimar diferenças.

Passo 2

Pra usar ponto fixo, a ideia é isolar x-sen x-1=0 Longrightarrow x=sen x+1 em g(x)=sen x+1 e iteramos xn+1=g(xn)=sen(xn)+1 :
Então definimos
Teoricamente, pra garantir convergência, a gente quer g'(x)=cos x, perto da raiz. Aqui
e como , na prática isso dá certo pra valores em torno de onde a gente convergir.

Passo 3

Agora é só iterar até . Vamos calcular:
  1. .




Parou aqui porque atingimos a tolerância.

Resposta

A raiz positiva aproximada, dentro do critério boxedxapprox1.9371 , é

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