Num reservatório semi-esférico de raio R=5 m deve-se armazenar água. Se o volume não puder passar de 65 m^3, usando o método da secante determine a altura máxima h que a água pode atingir. Observe que a relação entre altura e o volume é V(h)= pi (3 R h^2 - h^3)/3. Considere h0=0.9, h1=1, critério de parada erro relativo e tolerância varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

Então, o problema diz o seguinte: temos um reservatório em forma de meio esfera de raio R = 5 m e queremos encher até um volume máximo de 65 m³. A relação entre a altura da água h e o volume é
V(h)=pi3l(3Rh^2 - h^3r),
Precisamos achar h tal que f(h)=V(h)-65. Como não dá pra isolar h fácil, vamos usar o método da secante (uma técnica de Métodos Numéricos) pra achar a raiz da função
com erro relativo ≤ 10⁻², usando chutes iniciais e .

Passo 2

Primeiro, definimos a função:
f(h)=pi3l(15h^2 - h^3r) - 65
(Vimos que hn+1 = hn - f(hn),hn - hn-1f(hn)-f(hn-1),, já que R=5.)
O método da secante gera uma sequência
ER = l|hn+1-hnhn+1r| <= 10^-2
que aproxima a raiz de .
E o critério de parada do erro relativo é

Passo 3

Calcular f(0.9)=pi3(15cdot0.9^2-0.9^3)-65approx -53.03, f(1)=pi3(15cdot1^2-1^3)-65approx -50.34 e h2 =1 - (-50.34),1-0.9-50.34-(-53.03) approx 2.870 :
Agora aplicamos a fórmula da secante pra achar :

Passo 4

Calculamos f(2.870)approx +39.67 :
h3 =2.870 - 39.67,2.870-139.67-(-50.34) approx 2.046
E geramos l|2.046-2.8702.046r|approx0.402>0.01, :
Erro relativo até aqui:
ainda não caiu no critério.

Passo 5

Próxima iteração:
f(2.046)approx -8.19,
h4 =2.046 - (-8.19),2.046-2.870-8.19-39.67 approx 2.187
Erro relativo:
l|2.187-2.0462.187r|approx0.064>0.01,
ainda maior que a tolerância.

Passo 6

Mais uma iteração:
f(2.187)approx -0.82,
h5 =2.187 - (-0.82),2.187-2.046-0.82-(-8.19) approx 2.203
Erro relativo final:
l|2.203-2.1872.203r|approx0.0073<0.01,
agora sim satisfaz a tolerância.

Resposta

A altura máxima da água é, aproximadamente,
boxedh approx 2.20 m

Exercícios relacionados