No final do ano de 1972 Larsen et al. mediram as seguintes concentrações de fósforo total no lago Shagawa (Minnesota, USA)
Dia |c|c|c|c|c|c| hline Dia & $mg / m^3$ & Dia & $mg / m^3$ & Dia & $mg / m^3$ hline 250 & 92,0 & 270 & 62,0 & 290 & 48,0 hline 254 & 89,0 & 275 & 63,0 & 295 & 42,0 hline 264 & 75,0 & 280 & 55,0 & 300 & 37,0 hline Dia 5,5 m Dia
250 92,0 270 62,0 290 48,0
254 89,0 275 63,0 295 42,0
264 75,0 280 55,0 300 37,0
Sabe-se que a causa primária para a redução da concentração durante este período foi a sedimentação do fósforo particulado. Se assumirmos que o lago se comporta com um reator de batelada e que a sedimentação é um processo de primeira ordem, determine a constante cinética de remoção de fosforo total do lago. Se a profundidade média do lago é , calcule a velocidade de sedimentação do fósforo total.

Passo 1

Beleza, vamos dar um resumão do exercício. A gente tem medidas de concentração de fósforo total num lago em diferentes dias de 1972. O lago se comporta como um “reator de batelada” e a remoção de fósforo é por sedimentação de 1ª ordem. A parada de 1ª ordem significa que a velocidade de remoção é proporcional à concentração. O que a gente precisa é:
  1. descobrir a constante cinética dessa remoção (unidade: dia⁻¹);
  2. sabendo que a profundidade média do lago é 5,5 m, achar a velocidade de sedimentação (unidade: m/dia).
Para isso vamos usar a teoria de cinética de 1ª ordem (fórmula do decaimento exponencial) e relacionar à profundidade pra achar .

Passo 2

Conteúdo teórico: para um processo de 1ª ordem em batelada vale
C(t) = C0 , e^-k,t
onde
  • lnl(C(t)r) = ln(C0) - k,t é a concentração inicial (no nosso caso no dia 250);
  • ln!l(C(t)C0r) = -,k,t é a concentração depois de k = -1t,ln!l(C(t)C0r) dias;
  • é a constante de remoção que a gente quer achar.
Tirando o ln dos dois lados:
ou então
Daí isolamos

Passo 3

Vamos pegar dois pontos claros pra facilitar:
  • k = -150,ln!l(3792r) no dia 250 → tomamos isso como 3792 approx 0,4022, ln(0,4022) approx -0,910, .
  • k = -150times(-0,910) approx 0,0182 dia^-1 no dia 300 → aí dias.
Aplicando na fórmula:
Calculemos:

Passo 4

Agora a velocidade de sedimentação vs = k ,times h em regime de 1ª ordem num lago raso se relaciona com vs = 0,0182 d^-1times 5,5 m approx 0,100 m/dia e a profundidade média assim:
Como ,

Resposta

Constante cinética de remoção:
boxedk approx 0,0182 dia^-1
Velocidade de sedimentação do fósforo total:
boxedvs approx 0,10 m/dia

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