No final do ano de 1972 Larsen et al. mediram as seguintes concentrações de fósforo total no lago Shagawa (Minnesota, USA)
Dia
Dia
Dia
250
92,0
270
62,0
290
48,0
254
89,0
275
63,0
295
42,0
264
75,0
280
55,0
300
37,0
Sabe-se que a causa primária para a redução da concentração durante este período foi a sedimentação do fósforo particulado. Se assumirmos que o lago se comporta com um reator de batelada e que a sedimentação é um processo de primeira ordem, determine a constante cinética de remoção de fosforo total do lago. Se a profundidade média do lago é
, calcule a velocidade de sedimentação do fósforo total.
Dia |
|
Dia |
|
Dia |
|
250 | 92,0 | 270 | 62,0 | 290 | 48,0 |
254 | 89,0 | 275 | 63,0 | 295 | 42,0 |
264 | 75,0 | 280 | 55,0 | 300 | 37,0 |
Passo 1
Beleza, vamos dar um resumão do exercício. A gente tem medidas de concentração de fósforo total num lago em diferentes dias de 1972. O lago se comporta como um “reator de batelada” e a remoção de fósforo é por sedimentação de 1ª ordem. A parada de 1ª ordem significa que a velocidade de remoção é proporcional à concentração. O que a gente precisa é:
- descobrir a constante cinética
dessa remoção (unidade: dia⁻¹); - sabendo que a profundidade média do lago é 5,5 m, achar a velocidade de sedimentação
(unidade: m/dia).
Para isso vamos usar a teoria de cinética de 1ª ordem (fórmula do decaimento exponencial) e relacionar
à profundidade pra achar
.
Passo 2
Conteúdo teórico: para um processo de 1ª ordem em batelada vale
onde
-
é a concentração inicial (no nosso caso no dia 250); -
é a concentração depois de dias; -
é a constante de remoção que a gente quer achar.
Tirando o ln dos dois lados:
ou então
Daí isolamos
Passo 3
Vamos pegar dois pontos claros pra facilitar:
-
no dia 250 → tomamos isso como . -
no dia 300 → aí dias.
Aplicando na fórmula:
Calculemos:
Passo 4
Agora a velocidade de sedimentação
em regime de 1ª ordem num lago raso se relaciona com
e a profundidade média
assim:
Como
,
Resposta
Constante cinética de remoção:
Velocidade de sedimentação do fósforo total: