Dada a função, construa o gráfico de f(x), determine o intervalo e isole a raiz com o método de Newton, utilizando duas interaçōes, ( K=0, K=1, K=2)e E <= 10^-2 :
f(x)=x^3-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com a função f(x) = x^3 - 3. Precisamos desenhar o gráfico dela, achar o intervalo onde tá a raiz (ou seja, onde f(x)=0) e usar o método de Newton pra encontrar essa raiz com duas iterações, garantindo que o erro seja no máximo 10^-2. Pra isso, vamos precisar saber um pouco sobre graficar funções e entender como funciona o método de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função f(x) = x^3 - 3. Essa é uma função cúbica, o que significa que ela vai de -infty até +infty, passando pelo ponto onde f(x)=0. Se a gente fizer alguns cálculos rápidos:
  • Se x=0, f(0) = -3.
  • Se x=1, f(1) = 1 - 3 = -2.
  • Se x=2, f(2) = 8 - 3 = 5.
Então, o gráfico vai cruzar o eixo y em -3 e passa de negativo em x=1 para positivo em x=2. Isso dá uma ideia de como a curva se comporta.

Passo 3

Agora, vamos achar o intervalo onde tá a raiz. Como vimos:
  • f(1) = -2 (negativo)
  • f(2) = 5 (positivo)
Como a função mudou de sinal entre x=1 e x=2, pelo Teorema de Bolzano, tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, nosso intervalo inicial é [1, 2].

Passo 4

Vamos usar o método de Newton pra refinar essa raiz. A fórmula é:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Primeiro, precisamos da derivada de f(x). Para f(x) = x^3 - 3, a derivada é:
f'(x) = 3x^2

Passo 5

Vamos escolher um valor inicial, digamos x0 = 1.5. Agora, aplicamos o método:
Iteração 0 ( k=0):
x1 = 1.5 - (1.5)^3 - 33 cdot (1.5)^2 = 1.5 - 3.375 - 36.75 = 1.5 - 0.3756.75 approx 1.4444
Iteração 1 ( k=1):
x2 = 1.4444 - (1.4444)^3 - 33 cdot (1.4444)^2 approx 1.4444 - 3.0006 - 36.25 approx 1.4444 - 0.0001 = 1.4443
O erro após a segunda iteração é menor que 10^-2, então a gente para por aqui.

Resposta

A raiz da função f(x) = x^3 - 3 foi isolada em aproximadamente x = 1.4443 após duas iterações pelo método de Newton, com um erro menor ou igual a 10^-2.

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