Dada a função, construa o gráfico de
, determine o intervalo e isole a raiz com o método de Newton, utilizando duas interaçōes, (
)e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com a função
. Precisamos desenhar o gráfico dela, achar o intervalo onde tá a raiz (ou seja, onde
) e usar o método de Newton pra encontrar essa raiz com duas iterações, garantindo que o erro seja no máximo
. Pra isso, vamos precisar saber um pouco sobre graficar funções e entender como funciona o método de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função
. Essa é uma função cúbica, o que significa que ela vai de
até
, passando pelo ponto onde
. Se a gente fizer alguns cálculos rápidos:
- Se
, . - Se
, . - Se
, .
Então, o gráfico vai cruzar o eixo
em
e passa de negativo em
para positivo em
. Isso dá uma ideia de como a curva se comporta.
Passo 3
Agora, vamos achar o intervalo onde tá a raiz. Como vimos:
-
(negativo) -
(positivo)
Como a função mudou de sinal entre
e
, pelo Teorema de Bolzano, tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, nosso intervalo inicial é [1, 2].
Passo 4
Vamos usar o método de Newton pra refinar essa raiz. A fórmula é:
Primeiro, precisamos da derivada de
. Para
, a derivada é:
Passo 5
Vamos escolher um valor inicial, digamos
. Agora, aplicamos o método:
Iteração 0 (
):
Iteração 1 (
):
O erro após a segunda iteração é menor que
, então a gente para por aqui.
Resposta
A raiz da função
foi isolada em aproximadamente
após duas iterações pelo método de Newton, com um erro menor ou igual a
.