Qual o erro ao resolvermos integral-1^1-3 x^4+x-1 d x pela fórmula da Quadratura Gaussiana com 3 pontos? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer saber qual é o erro ao usar a fórmula de Quadratura Gaussiana com 3 pontos para aproximar
integral-1^1l(-3x^4+x-1r),dx
Conteúdo: Quadratura Gaussiana (ferramenta de integração numérica).
O que vamos precisar:
  1. conhecer os nós e pesos da Gauss-3;
  2. entender o grau de exatidão dessa fórmula (até que grau de polinômio ela é exata);
  3. saber o grau do nosso integrando;

Passo 2

Teoria da Quadratura Gaussiana de 3 pontos:
  • Nós (no intervalo x1 = -raiztfrac35, x2=0, x3=+raiztfrac35 ): w1 = w3 = tfrac59, w2 = tfrac89
  • Pesos:
Grau de exatidão: uma fórmula de Gauss com nós integra exatamente todos os polinômios de grau até .
Aqui, ⇒ grau exato até .

Passo 3

Nosso integrando é
f(x) = -3x^4 + x - 1,
que é um polinômio de grau 4.
Como , a regra de Gauss-3 vai integrá-lo exatamente, sem erro algum.

Resposta

O erro é zero. A Quadratura Gaussiana com 3 pontos é exata para polinômios de grau até 5, e nosso integrando tem grau 4, portanto não há erro.

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