Qual o erro ao resolvermos integral-1^1 2 x^3-4 x-4 d x pela fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o erro ao calcular a integral usando a fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos. O conteúdo principal aqui é a Quadratura Gaussiana, que é um método para aproximar integrais definidas. Para resolver isso, precisamos entender como a Quadratura Gaussiana funciona, especialmente com 2 pontos, e verificar se ela é adequada para integrar o polinômio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Quadratura Gaussiana. É uma técnica numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas, especialmente eficiente para integrar polinômios. A ideia é avaliar a função em pontos específicos (chamados nós) e multiplicar por certos pesos para obter a aproximação da integral.

Passo 3

No caso da Quadratura Gaussiana com 2 pontos, estamos usando dois nós e dois pesos. Esses nós são as raízes do polinômio de Legendre de grau 2, que são e . Os pesos correspondentes são iguais, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos à nossa integral:
integral-1^1 f(x) , dx approx w1 f(x1) + w2 f(x2)
Substituindo os valores dos nós e pesos:

Passo 5

Antes de calcular, é importante saber até que grau de polinômio a fórmula é exata. A Quadratura Gaussiana com pontos integra exatamente polinômios de grau até . Aqui, com , podemos integrar exatamente quaisquer polinômios de grau até .

Passo 6

Nosso polinômio é , que é de grau 3. Como a Quadratura Gaussiana com 2 pontos é exata para polinômios até grau 3, ela deve calcular essa integral sem erro.

Passo 7

Para confirmar, podemos calcular a integral exata:
integral-1^1 (2x^3 - 4x - 4) , dx = [2x^44 - 4x^22 - 4x]-1^1 = [x^42 - 2x^2 - 4x]-1^1
Calculando nos limites:
Para 12 - 2(1) - 4(1) = 12 - 2 - 4 = -92 :
12 - 2(1) - 4(-1) = 12 - 2 + 4 = 52
Para -92 - 52 = -7 :
Subtraindo:

Passo 8

Agora, aplicando a Quadratura Gaussiana com 2 pontos:
Calculando ambos:
Somando os dois valores e multiplicando pelos pesos:
f(-raiz1/3) = 2(-raiz1/3)^3 - 4(-raiz1/3) - 4

Resposta

O erro ao resolvermos pela fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos é zero, ou seja, a quadratura fornece o valor exato da integral.

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