Qual o erro ao resolvermos
pela fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos? Justifique.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o erro ao calcular a integral
usando a fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos. O conteúdo principal aqui é a Quadratura Gaussiana, que é um método para aproximar integrais definidas. Para resolver isso, precisamos entender como a Quadratura Gaussiana funciona, especialmente com 2 pontos, e verificar se ela é adequada para integrar o polinômio dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Quadratura Gaussiana. É uma técnica numérica usada para aproximar o valor de integrais definidas, especialmente eficiente para integrar polinômios. A ideia é avaliar a função em pontos específicos (chamados nós) e multiplicar por certos pesos para obter a aproximação da integral.
Passo 3
No caso da Quadratura Gaussiana com 2 pontos, estamos usando dois nós e dois pesos. Esses nós são as raízes do polinômio de Legendre de grau 2, que são e . Os pesos correspondentes são iguais,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos à nossa integral:
Substituindo os valores dos nós e pesos:
Passo 5
Antes de calcular, é importante saber até que grau de polinômio a fórmula é exata. A Quadratura Gaussiana com
pontos integra exatamente polinômios de grau até
. Aqui, com
, podemos integrar exatamente quaisquer polinômios de grau até
.
Passo 6
Nosso polinômio é
, que é de grau 3. Como a Quadratura Gaussiana com 2 pontos é exata para polinômios até grau 3, ela deve calcular essa integral sem erro.
Passo 7
Para confirmar, podemos calcular a integral exata:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, aplicando a Quadratura Gaussiana com 2 pontos:
Calculando ambos:
Somando os dois valores e multiplicando pelos pesos:
Resposta
O erro ao resolvermos
pela fórmula da Quadratura Gaussiana com 2 pontos é zero, ou seja, a quadratura fornece o valor exato da integral.