Encontre as soluções para a seguinte equação
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra a gente resolver a equação
Isso cai em “equação transcendental” (não dá pra isolar
só com aritmética/álgebra clássica). Vamos usar um pouco de teoria de função contínua (Teorema do Valor Intermediário) pra garantir raízes, e depois um método numérico (Newton) pra aproximar de fato.
Passo 2
Definimos a função
Queremos achar
tal que
.
- Primeiro, garantimos a existência de pelo menos duas raízes em
: -
. -
. -
.
-
- Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe - uma raiz em
(porque e ), - outra em
(porque e ).
- uma raiz em
Passo 3
Agora, pra calcular de fato essas raízes, usamos o método de Newton.
- Derivada de
: - Fórmula de iteração:
- Vamos fazer duas iterações para a raiz positiva, começando em
: - Iteração 1:
- Iteração 2:
- Se fizermos mais uma iteração, chegamos em algo como
.
- Iteração 1:
Passo 4
A segunda raiz (negativa) é só o simétrico de
, pois
e
.
Resposta
As soluções da equação
são, aproximadamente,