Encontre as soluções para a seguinte equação cos x=x^2

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra a gente resolver a equação
cos x = x^2
Isso cai em “equação transcendental” (não dá pra isolar só com aritmética/álgebra clássica). Vamos usar um pouco de teoria de função contínua (Teorema do Valor Intermediário) pra garantir raízes, e depois um método numérico (Newton) pra aproximar de fato.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = cos x - x^2
Queremos achar tal que .
  1. Primeiro, garantimos a existência de pelo menos duas raízes em :
    • .
    • .
    • .
  2. Como é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
    • uma raiz em (porque e ),
    • outra em (porque e ).

Passo 3

Agora, pra calcular de fato essas raízes, usamos o método de Newton.
  1. Derivada de f'(x) = -sin x ;-; 2x : xn+1 = xn ;-; f(xn)f'(xn)
  2. Fórmula de iteração: f(0.7)=cos(0.7)-0.7^2approx0.7648-0.49=0.2748, f'(0.7)=-sin(0.7)-2cdot0.7approx -0.6442-1.4=-2.0442,
  3. Vamos fazer duas iterações para a raiz positiva, começando em x1 = 0.7 - 0.2748-2.0442 approx 0.8345 :
    • Iteração 1: f(0.8345)=cos(0.8345)-0.8345^2approx0.6721-0.6964=-0.0243, f'(0.8345)=-sin(0.8345)-2cdot0.8345approx -0.7402-1.6690=-2.4092, x2 = 0.8345 - -0.0243-2.4092 approx 0.8244
    • Iteração 2:
    • Se fizermos mais uma iteração, chegamos em algo como .

Passo 4

A segunda raiz (negativa) é só o simétrico de , pois
e .

Resposta

As soluções da equação x approx +0.8241 e x approx -0.8241 são, aproximadamente,

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