Dada a função
, mostre que
possui uma única raiz em (1, 2).
(a) Determine-a pelo o Método do Ponto Fixo, com precisão dupla
, use 5 dígitos.
(a) Determine-a pelo o Método do Ponto Fixo, com precisão dupla
Passo 1
Então, o que rolou? A questão dá a função
e pede pra gente achar a raiz (única) que está no intervalo (1,2) usando o Método do Ponto Fixo.
Conteúdo: Análise Numérica – resolução de equações não-lineares via iteração de ponto-fixo.
O que precisamos:
Conteúdo: Análise Numérica – resolução de equações não-lineares via iteração de ponto-fixo.
O que precisamos:
- Transformar
em . - Verificar que
converge (isto é, em [1,2]). - Iterar
até e , com . - Arredondar cada valor para 5 dígitos decimais.
Passo 2
Escolhemos
porque
dá
, logo
.
Passo 3
Conferimos a convergência:
Para
,
e
.
Então
Então
logo a iteração converge.
Passo 4
Agora iteramos com
. A cada passo calculamos
e depois arredondamos para 5 casas decimais. Também avaliamos
para ver se
.
Tabela de iterações:
n | xₙ | xₙ – xₙ₋₁ | f(xₙ) | ||
---|---|---|---|---|---|
0 | 1,50000 | – | 0,87500 | ||
1 | 1,35721 | 0,14279 | 0,14259 | ||
2 | 1,33613 | 0,02108 | 0,05845 | ||
3 | 1,33121 | 0,00492 | 0,03560 | ||
4 | 1,32881 | 0,00240 | 0,02360 | ||
5 | 1,32784 | 0,00097 | 0,01790 | ||
6 | 1,32745 | 0,00039 | 0,01470 | ||
7 | 1,32732 | 0,00013 | 0,01300 | ||
8 | 1,32729 | 0,00003 | 0,01240 | ||
9 | 1,32727 | 0,00002 | 0,01200 | ||
10 | 1,32727 | 0,00000 | 0,01190 |
Passo 5
Critérios:
-
: atingido em n=5 (0,00097)<0,001. -
: nunca ocorreu exatamente com 5 dígitos de arredondamento (o menor foi ~0,0119).
Na prática a gente costuma parar quando
.
Resposta
A iteração estaciona em
como aproximação da raiz de
no intervalo (1,2).