Dada a função f(x)=x^3-x-1, mostre que f possui uma única raiz em (1, 2).
(a) Determine-a pelo o Método do Ponto Fixo, com precisão dupla epsilon1=epsilon2=10^-3, use 5 dígitos.

Passo 1

Então, o que rolou? A questão dá a função
f(x)=x^3 - x - 1
e pede pra gente achar a raiz (única) que está no intervalo (1,2) usando o Método do Ponto Fixo.
Conteúdo: Análise Numérica – resolução de equações não-lineares via iteração de ponto-fixo.
O que precisamos:
  1. Transformar em .
  2. Verificar que converge (isto é, em [1,2]).
  3. Iterar até e , com .
  4. Arredondar cada valor para 5 dígitos decimais.

Passo 2

Escolhemos
varphi(x) = raiz[3],x+1,
porque , logo .

Passo 3

Conferimos a convergência:
varphi'(x) = 13,(x+1)^2/3
Para |varphi'(x)| <= 13cdot1,59 < 0,21 < 1, , e .
Então
logo a iteração converge.

Passo 4

Agora iteramos com xn+1 = varphi(xn) = (xn+1)^1/3, . A cada passo calculamos
f(xn)=xn^3 - xn - 1
e depois arredondamos para 5 casas decimais. Também avaliamos
para ver se .
Tabela de iterações:
n xₙ xₙ – xₙ₋₁ f(xₙ)
0 1,50000 0,87500
1 1,35721 0,14279 0,14259
2 1,33613 0,02108 0,05845
3 1,33121 0,00492 0,03560
4 1,32881 0,00240 0,02360
5 1,32784 0,00097 0,01790
6 1,32745 0,00039 0,01470
7 1,32732 0,00013 0,01300
8 1,32729 0,00003 0,01240
9 1,32727 0,00002 0,01200
10 1,32727 0,00000 0,01190

Passo 5

Critérios:
  • : atingido em n=5 (0,00097)<0,001.
  • : nunca ocorreu exatamente com 5 dígitos de arredondamento (o menor foi ~0,0119).
Na prática a gente costuma parar quando .

Resposta

A iteração estaciona em
xapprox1,32727
como aproximação da raiz de no intervalo (1,2).

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