Para a função
, mostre que
possui uma única raiz em
.
Passo 1
Beleza, temos a função
O que a questão pede é mostrar que ela tem exatamente uma raiz (um zero) no intervalo
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Teorema de Bolzano (valor intermediário) para garantir que existe pelo menos uma raiz quando a função muda de sinal.
- Derivada e monotonicidade para garantir que essa raiz é única.
Passo 2
Primeiro, vamos ver os sinais nos extremos do intervalo:
Calcule :
Calcule
Ou seja,
.
Agora
:
Então
.
Como
é uma soma de funções contínuas (exponencial e polinomial), ela é contínua em todo lugar. Pelo Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal num intervalo, existe pelo menos uma raiz ali. Logo há pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Para garantir que a raiz seja única, mostramos que
é estritamente crescente em
.
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Para qualquer
em
, temos
então
Logo
em todo o intervalo, o que significa que
é estritamente crescente ali.
Passo 4
Resumo:
-
e ⇒ existe pelo menos uma raiz em . -
em ⇒ é estritamente crescente ⇒ não pode ter duas raízes (se tivesse duas, teria que “cair” de novo).
Resposta
A função
possui exatamente uma única raiz no intervalo
.