Para a função f(x)=e^x-x^2+4, mostre que f possui uma única raiz em (-3,-2).

Passo 1

Beleza, temos a função
f(x)=e^x-x^2+4
O que a questão pede é mostrar que ela tem exatamente uma raiz (um zero) no intervalo .
Conteúdo que vamos usar:
  • Teorema de Bolzano (valor intermediário) para garantir que existe pelo menos uma raiz quando a função muda de sinal.
  • Derivada e monotonicidade para garantir que essa raiz é única.

Passo 2

Primeiro, vamos ver os sinais nos extremos do intervalo:
Calcule f(-3)=e^-3-(-3)^2+4 = e^-3-9+4 approx 0,0498-5 approx -4,9502 :
f(-2)=e^-2-(-2)^2+4 = e^-2-4+4 approx 0,1353+0 approx 0,1353
Ou seja, .
Agora :
Então .
Como é uma soma de funções contínuas (exponencial e polinomial), ela é contínua em todo lugar. Pelo Teorema de Bolzano, se uma função contínua muda de sinal num intervalo, existe pelo menos uma raiz ali. Logo há pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Para garantir que a raiz seja única, mostramos que f'(x)=ddxl(e^x - x^2 +4r) = e^x - 2x é estritamente crescente em e^x>0e -2x>= -2cdot(-3)=6,.
Calcule a derivada:
f'(x)=e^x - 2x ;>=; 0 + 6 ;=;6>0
Para qualquer em , temos
então
Logo em todo o intervalo, o que significa que é estritamente crescente ali.

Passo 4

Resumo:
  1. e ⇒ existe pelo menos uma raiz em .
  2. em é estritamente crescente ⇒ não pode ter duas raízes (se tivesse duas, teria que “cair” de novo).

Resposta

A função possui exatamente uma única raiz no intervalo .

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