Seja a função
, mostre que
possui uma única raiz em
.
(a) Use 5 dígitos, para encontrá-la pelo Método da Bisseção, com precisão
.
(a) Use 5 dígitos, para encontrá-la pelo Método da Bisseção, com precisão
Passo 1
Então, mano, a questão diz: tem a função
e a gente precisa mostrar que ela tem exatamente uma raiz no intervalo
. Em seguida, usar o Método da Bisseção para achar essa raiz com precisão
, mostrando os valores com 5 casas decimais.
Conteúdo: Métodos numéricos (bisseção) e um pouquinho de análise para garantir existência e unicidade da raiz. A gente vai precisar de Bolzano (sinal trocado) e de monotonicidade (derivada) para a parte teórica, e depois vai aplicar passo a passo a bisseção até ter erro menor que .
Conteúdo: Métodos numéricos (bisseção) e um pouquinho de análise para garantir existência e unicidade da raiz. A gente vai precisar de Bolzano (sinal trocado) e de monotonicidade (derivada) para a parte teórica, e depois vai aplicar passo a passo a bisseção até ter erro menor que
Passo 2
Primeiro, provar que existe e é única:
- f é contínua em
. - Calcula f(0,5) e f(1):
Como f muda de sinal em (0,5,1), por Bolzano existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
3) A derivada é
3) A derivada é
ou seja, f é estritamente crescente em
. Logo não pode ter duas raízes. Concluímos: há exatamente uma raiz em
.
Passo 3
Agora, partindo para a Bisseção.
Definimos:
Definimos:
Checamos f(a₁)<0 e f(b₁)>0, então podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Vamos gerar os pontos médios
e atualizar o intervalo enquanto
. Aí mostramos 5 dígitos em cada
.
Iteração 1:
Como
e
, a raiz está em
.
Iteração 2:
Agora
e
, então o novo intervalo é
.
Iteração 3:
Como
e
, agora o intervalo é
.
Passo 5
Checamos o critério de parada:
então já atingiu a precisão
. Vamos estimar a raiz pelo ponto médio desse último intervalo:
Resposta
A raiz única de
em
, obtida pelo Método da Bisseção com
, é aproximadamente