Seja a função f(x)=x^2+ln (x), mostre que f possui uma única raiz em (0,5 ; 1).
(a) Use 5 dígitos, para encontrá-la pelo Método da Bisseção, com precisão epsilon=10^-1.

Passo 1

Então, mano, a questão diz: tem a função
f(x)=x^2+ln(x)
e a gente precisa mostrar que ela tem exatamente uma raiz no intervalo . Em seguida, usar o Método da Bisseção para achar essa raiz com precisão , mostrando os valores com 5 casas decimais.
Conteúdo: Métodos numéricos (bisseção) e um pouquinho de análise para garantir existência e unicidade da raiz. A gente vai precisar de Bolzano (sinal trocado) e de monotonicidade (derivada) para a parte teórica, e depois vai aplicar passo a passo a bisseção até ter erro menor que .

Passo 2

Primeiro, provar que existe e é única:
  1. f é contínua em f(0,5)=0,5^2+ln(0,5)=0,25-0,69315approx -0,44315<0, .
  2. Calcula f(0,5) e f(1):
f(1)=1^2+ln(1)=1+0=1>0
f'(x)=2x+1x>0para x>0,
Como f muda de sinal em (0,5,1), por Bolzano existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
3) A derivada é
ou seja, f é estritamente crescente em . Logo não pode ter duas raízes. Concluímos: há exatamente uma raiz em .

Passo 3

Agora, partindo para a Bisseção.
Definimos:
a1=0,5, b1=1, epsilon=10^-1
Checamos f(a₁)<0 e f(b₁)>0, então podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Vamos gerar os pontos médios m1=a1+b12=0,50000+1,000002=0,75000, e atualizar o intervalo enquanto f(0,75000)=0,75000^2+ln(0,75000)approx0,56250-0,28768=0,27482>0 . Aí mostramos 5 dígitos em cada m2=0,50000+0,750002=0,62500, .
Iteração 1:
f(0,62500)approx0,62500^2+ln(0,62500) =0,39062-0,47000=-0,07938<0
m3=0,62500+0,750002=0,68750,
Como f(0,68750)approx0,68750^2+ln(0,68750) =0,47266-0,37594=0,09672>0 e , a raiz está em .
Iteração 2:
Agora e , então o novo intervalo é .
Iteração 3:
Como e , agora o intervalo é .

Passo 5

Checamos o critério de parada:
b4-a42=0,68750-0,625002=0,03125<= 0,1,
então já atin­giu a precisão xaprox=a4+b42=0,62500+0,687502=0,65625 . Vamos estimar a raiz pelo ponto médio desse último intervalo:

Resposta

A raiz única de boxed0,65625 em , obtida pelo Método da Bisseção com , é aproximadamente

Exercícios relacionados