Para o sistema operacional F(10,6,-8,8), calcule:
(b) P3(x), o Polinômio de Taylor de grau 3 para f(x)=cos (x).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um pedido clássico de polinômio de Taylor (mais especificamente o Maclaurin, que é o caso quando o ponto de expansão é 0) de grau 3 para a função
f(x) = cos(x)
Então o conteúdo é “Polinômio de Taylor/Maclaurin” e o que vamos precisar é:
  1. Saber a fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de .
  2. Conhecer as derivadas de até a terceira ordem.
  3. Avaliar essas derivadas em e montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de zero (ou seja, Maclaurin grau 3) é:
P3(x) = f(0) + f'(0),x + f''(0)2!,x^2 + f'''(0)3!,x^3
Isso vem direto da definição:
Pn(x) = sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k

Passo 3

Agora vamos listar as derivadas de f(x) &= cos(x), f'(x) &= -sin(x), f''(x) &= -cos(x), f'''(x) &= sin(x) até a terceira ordem:
A ideia é pegar cada uma dessas e avaliar em .

Passo 4

Avaliações em f(0) &= cos(0) = 1, f'(0) &= -sin(0) = 0, f''(0) &= -cos(0) = -1, f'''(0)&= sin(0) = 0 :

Passo 5

Só falta montar o polinômio usando a fórmula do Passo 2:
P3(x) = f(0) + f'(0),x + f''(0)2!,x^2 + f'''(0)3!,x^3
Substituindo os valores que achamos:
P3(x) = 1 + 0cdot x + -12!,x^2 + 03!,x^3 = 1 - x^22

Resposta

boxedP3(x) = 1 - x^22

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