Para o sistema operacional
, calcule:
(b)
, o Polinômio de Taylor de grau 3 para
.
(b)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um pedido clássico de polinômio de Taylor (mais especificamente o Maclaurin, que é o caso quando o ponto de expansão é 0) de grau 3 para a função
Então o conteúdo é “Polinômio de Taylor/Maclaurin” e o que vamos precisar é:
- Saber a fórmula geral do polinômio de Taylor em torno de
. - Conhecer as derivadas de
até a terceira ordem. - Avaliar essas derivadas em
e montar o polinômio.
Passo 2
Primeiro, a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de zero (ou seja, Maclaurin grau 3) é:
Isso vem direto da definição:
Passo 3
Agora vamos listar as derivadas de
até a terceira ordem:
A ideia é pegar cada uma dessas e avaliar em
.
Passo 4
Avaliações em
:
Passo 5
Só falta montar o polinômio usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores que achamos: