1. Dada a função y=sen x tabelada
    c|c|c|c|c $x$ & 1.2 & 1.3 & 1.4 & 1.5 hline $sen(x)$ & 0.932 & 0.964 & 0.985 & 0.997 1.2 1.3 1.4 1.5
    sen(1.35) 0.932 0.964 0.985 0.997
(a) Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton.
(b) Calcular o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton de diferenças sucessivas.
© Calcular .
(d) Dar um limite superior para o erro.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o seguinte: a gente tem a tabela
(a) montar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton (diferenças divididas),
(b) montar o mesmo polinômio usando Newton de diferenças sucessivas,
© aproximar ,
(d) dar um limite superior para o erro.
Matéria: interpolação polinomial. Vamos precisar aprender/dividir em Newton de diferenças divididas, Newton “forward” com diferenças sucessivas e fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

(Interpolação de Newton – diferenças divididas)
  1. Escolhe f[x0,x1]=0.964-0.9321.3-1.2=0.32, f[x1,x2]=0.985-0.9640.1=0.21, f[x2,x3]=0.997-0.9850.1=0.12, f[x0,x1,x2] =0.21-0.321.4-1.2=-0.55, f[x1,x2,x3] =0.12-0.210.2=-0.45, f[x0,x1,x2,x3] =-0.45-(-0.55)1.5-1.2 =0.100.3=0.333333ldots, P3(x)=0.932 +0.32,(x-1.2) -0.55,(x-1.2)(x-1.3) +0.333333,(x-1.2)(x-1.3)(x-1.4) e .
  2. Calcula as diferenças divididas:
  3. O polinômio de grau 3 fica

Passo 3

(Interpolação de Newton – diferenças sucessivas)
  1. Monta a tabela de diferenças com passo c|c|c|c|c x&f&De: P3(x) =f0+s,De
  2. Usa a fórmula
  3. Substituindo , dá exatamente o mesmo polinômio de antes.

Passo 4

(Aproximação de )
  1. Calcula P3(1.35) =0.932 +1.5cdot0.032 +1.5,(1.5-1)2,(-0.011) +1.5,(0.5),(-0.5)6,0.002 approx0.97575.
  2. No polinômio de diferenças sucessivas:

Passo 5

(Limite superior do erro)
O resto de Lagrange para grau 3 é
R3(x) =f^(4)(xi)4!(x-1.2)(x-1.3)(x-1.4)(x-1.5), xiin[1.2,1.5]
Como tem e ,
$$|R_3(1.35)|\le\frac{|0.15\cdot0.05\cdot(-0.05)\cdot(-0.15)|}{4!}
=\frac{0.00005625}{24}\approx2.34\times10^{-6}.$$

Resposta

a)
b) Mesmo polinômio usando Newton “forward” com diferenças sucessivas.
c)
d) Limite superior do erro:

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