, calcular e , sabendo que ela corresponde a um polinômio do terceiro grau. Sugestão: calcule as diferenças sucessivas.
Suspeita-se que a tabela
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
-9.0
0.0
1.0
0.0
3.0
16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Passo 1
Beleza, o enunciado tem duas partes. Primeiro a gente tem uma tabela de valores de um polinômio do terceiro grau em , mas faltam três valores de : , e . A dica é usar diferenças sucessivas pra descobrir esses valores. Na segunda parte, vem outra tabela (com e ) e a pergunta é: como testar se ela realmente veio de um polinômio cúbico?
Conteúdo envolvido: diferenças finitas (sucessivas) e a característica de que, em um polinômio de grau 3, as terceiras diferenças são constantes.
Passo 2
Vamos começar a tabela original e montar as diferenças.
Tabela de :
1ª diferenças (Δ):
2ª diferenças (Δ²): subtraindo cada par de 1ª diferenças:
3ª diferenças (Δ³): subtraindo cada par de 2ª diferenças:
Num polinômio de grau 3, todas as terceiras diferenças são iguais (constantes). Chamando esse valor de , temos:
Igualando par a par e resolvendo, dá o sistema simples:
Desse sistema saem , e .
Passo 3
Agora a segunda tabela:
Fazemos as diferenças:
1ª diferenças:
2ª diferenças:
3ª diferenças:
Repara que a 3ª diferença é constante (sempre 6). Aí está o teste: se as terceiras diferenças são todas iguais, a tabela veio de um polinômio de grau 3.
Resposta
E na segunda tabela as terceiras diferenças ficaram todas iguais a 6, então ela de fato representa um polinômio cúbico.