Dada a tabela
c|c|c|c|c|c|c $x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 hline$y$ & -1 & $alpha$ & 5 & $beta$ & 7 & $gamma$ & 13 0 1 2 3 4 5 6
alpha, beta -1 gamma 5 c|c|c|c|c|c|c $x$ & -3.0 & -2.0 & -1.0 & 0.0 & 1.0 & 2.0 hline$y$ & -9.0 & 0.0 & 1.0 & 0.0 & 3.0 & 16.0 7 13
, calcular e , sabendo que ela corresponde a um polinômio do terceiro grau. Sugestão: calcule as diferenças sucessivas.
  1. Suspeita-se que a tabela
    -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0
    -9.0 0.0 1.0 0.0 3.0 16.0
    represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.

Passo 1

Beleza, o enunciado tem duas partes. Primeiro a gente tem uma tabela de valores de um polinômio do terceiro grau em , mas faltam três valores de : , e . A dica é usar diferenças sucessivas pra descobrir esses valores. Na segunda parte, vem outra tabela (com e ) e a pergunta é: como testar se ela realmente veio de um polinômio cúbico?
Conteúdo envolvido: diferenças finitas (sucessivas) e a característica de que, em um polinômio de grau 3, as terceiras diferenças são constantes.

Passo 2

Vamos começar a tabela original e montar as diferenças.
Tabela de alpha-(-1)&=alpha+1, 5-alpha,& beta-5, 7-beta, gamma-7, 13-gamma :
(5-alpha)-(alpha+1)&=4-2alpha, (beta-5)-(5-alpha)&=alpha+beta-10, (7-beta)-(beta-5)&=12-2beta, (gamma-7)-(7-beta)&=beta+gamma-14, (13-gamma)-(gamma-7)&=20-2gamma
De
1ª diferenças (Δ 3alpha+beta-14 = k, 22-3beta-alpha = k, gamma+3beta-26 = k, 34-3gamma-beta = k ):
alpha+beta=9, alpha+6beta+gamma=48, alpha+2beta-3gamma=-12
2ª diferenças (Δ² ): subtraindo cada par de 1ª diferenças:
3ª diferenças (Δ³ ): subtraindo cada par de 2ª diferenças:
Num polinômio de grau 3, todas as terceiras diferenças são iguais (constantes). Chamando esse valor de , temos:
Igualando par a par e resolvendo, dá o sistema simples:
Desse sistema saem , e .

Passo 3

Agora a segunda tabela:


Fazemos as diferenças:
1ª diferenças:
2ª diferenças:
3ª diferenças:
Repara que a 3ª diferença é constante (sempre 6). Aí está o teste: se as terceiras diferenças são todas iguais, a tabela veio de um polinômio de grau 3.

Resposta


E na segunda tabela as terceiras diferenças ficaram todas iguais a 6, então ela de fato representa um polinômio cúbico.

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