- Dada uma função
, podemos aproximar a integral
pela integral do polinômio
de grau menor or igual a 2 que interpola
nos pontos
e
. Utilizando a Fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador, determine
,
e
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer aproximar
pelo polinômio de grau ≤2 que interpola
em
,
e
. Isso tá na área de Interpolação de Lagrange e Regras de Quadratura.
O que precisamos saber:
O que precisamos saber:
- Fórmula de Lagrange para construir
, - que
, - para cada peso
a gente só integra um polinômio.
Vamos definir os, integrar e achar .
Passo 2
Definindo os nós e as bases:
As bases de Lagrange são
As bases de Lagrange são
E então
Passo 3
Vamos calcular
. Para simplificar, ponha
Então
. O denominador de
é
Logo
Mude de variável
, daí
e quando
,
.
O integrando vira
O integrando vira
Então
Calcule as duas partes:
,
.
Logo
Logo
Passo 4
Pela simetria (e porque
é igual a
trocando
por
), a gente tem
Passo 5
Como a soma dos pesos deve dar o tamanho do intervalo,
temos