1. Dada uma função f:[a, b] R, podemos aproximar a integral integrala^b f(x) d x pela integral do polinômio p2(x) de grau menor or igual a 2 que interpola f nos pontos a, a+b2 e b. Utilizando a Fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador, determine w0, w1 e w2 tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer aproximar
integrala^b f(x),dx
pelo polinômio de grau ≤2 que interpola em ,
e . Isso tá na área de Interpolação de Lagrange e Regras de Quadratura.
O que precisamos saber:
  • Fórmula de Lagrange para construir ,
  • que ,
  • para cada peso a gente só integra um polinômio.
    Vamos definir os , integrar e achar .

Passo 2

Definindo os nós e as bases:
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
As bases de Lagrange são
wj = integrala^b Lj(x),dx
E então

Passo 3

Vamos calcular h = b-a2, m = a + h . Para simplificar, ponha
(x0-x1)(x0-x2) = (a - (a+h)),(a - (a+2h)) = (-h)(-2h) = 2h^2
Então L0(x)=(x-(a+h)),(x-(a+2h))2h^2 . O denominador de (x-(a+h))(x-(a+2h)) = t,(t - h) = t^2 - ht é
w0 = integrala^b L0(x),dx = 12h^2integral-h^h(t^2 - h,t),dt
Logo
w0 = 12h^2cdot 2h^33 = h3 = b-a6
Mude de variável , daí e quando , .
O integrando vira
Então
Calcule as duas partes:
,
.
Logo

Passo 4

Pela simetria (e porque w2 = w0 = b-a6 é igual a trocando por ), a gente tem

Passo 5

Como a soma dos pesos deve dar o tamanho do intervalo,
w0 + w1 + w2 = b-a,
temos
w1 = (b-a) - 2cdotb-a6 = (b-a)l(1 - tfrac13r) = tfrac2(b-a)3

Resposta

w0 = b-a6, w1 = 2(b-a)3, w2 = b-a6

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